Disequazione di un rapporto in cui il denominatore ha il valore assoluto

Testo

Si voglia risolvere la seguente disequazione:

\(\frac{x+1}{|x|-2}\leq 0\)

Prerequisiti

Se hai qualche dubbio su come risolvere le disequazioni, ti consigliamo di guardare:

Come risolvere le disequazioni di primo grado

Come risolvere le disequazioni fratte di primo grado

Soluzione

Come prima cosa andrebbe determinato il campo di esistenza della seguente disequazione. Per determinarlo si impone, come sempre, che:

Campo di esistenza (C.E) disequazione

\(D(x) \cancel{=}0\)

Siccome:

\(D(x)=|x|-2\)

Ci chiediamo per quali valori di \(x\):

\(|x|-2=0\)

Per poterlo capire si ragiona sul valore assoluto. Si ricordi la definizione:

\(|f(x)|=\left\{\begin{matrix}+f(x)\; \;per \;\;f(x)\geq0\\-f(x)\; \; per\; \; f(x)<0\end{matrix}\right.\)

Quindi:

\(|x|-2= \left\{\begin{matrix}+(x)-2\; \;per \;\;f(x)\geq0\\-(x)-2\; \; per\; \; f(x)<0\end{matrix}\right.\)

A questo punto ci sono due strade da percorrere. La prima è quella per \(x \geq 0\).Potrebbero esserci più valori di \(x\) che annullano il binomio a sinistra dell’uguale.

Condizione \(x \geq 0\):

\(x-2=0 \rightarrow x=2\)

Siccome \(x=2\) è un valore che rientra nella condizione \(x \geq 0\) allora questo valore è accettato come numero che annulla il denominatore.

Condizione \(x < 0\):

\(-x-2=0 \rightarrow x=-2\)

Siccome \(x=-2\) è un valore che rientra nella condizione \(x < 0\) allora questo valore è accettato come numero che annulla il denominatore.

Quindi i valori di \(x\) ammessi sono:

\(x ∈ \mathbb{R}\) \(-\) {-2;2}

Torniamo a valutare il problema, avendo determinato quali sono i valori ammessi.

\(\frac{x+1}{|x|-2} \leq 0\)

Per scoprire dove numeratore e denominatore hanno segno concorde poniamo di volerli studiare separatamente:

\( N(x) \geq 0\)

\(D(x) > 0\)

Quindi per il numeratore abbiamo:

\(x+1 \geq 0 \rightarrow x \geq -1\)

Per il denominatore la questione è diversa, perché deve scontrarsi con le necessità del valore assoluto. Valutiamo il denominatore con la condizione del valore assoluto che \(x\) sia positivo:

\(x-2 > 0 \rightarrow x > 2\)

Che è un intervallo ammesso interamente. Valutiamo il denominatore con la condizione del valore assoluto che \(x\) sia negativo:

\(-x-2>0 \rightarrow x <-2\)

Che è un intervallo ammesso interamente.

Quindi il denominatore è positivo quando:

\(x<-2 \vee x>2\)

Quindi facendo il grafico dei segni della disequazione si ha:

Quindi le soluzioni sono:

\(x<-2 \vee -1 \leq x<2\)

Di seguito viene riportata graficamente la funzione \(f(x)=\frac{x+1}{|x|-2}\) con gli intervalli di negatività.

Ti è stato utile l’articolo? inoltre ti consigliamo di guardare:

Esempio di come risolvere una disequazione di secondo grado fratta

Come risolvere una disequazione del valore assoluto di un rapporto con esponenziali