Come risolvere una disequazione del valore assoluto di un rapporto con esponenziali

Livello: “(scuola superiore, università)”.

Materia: “(matematica)”.

Testo

Si voglia risolvere la seguente disequazione:

Esempio di disequazione matematica con valore assoluto di un rapporto con esponenziali

Soluzione

Osserviamo che:

\(| \frac{15\cdot 5^x+5}{5^{2x}-2\cdot 5^x+1}|<5\)

Posto \(t=5^x\) si ha:

\( | \frac{15t+5}{t^2-2t+1}|<5\)

Quindi:

\( | \frac{5(3t+1)}{(t-1)^2}|<5\)

CE (“Condizioni di esistenza“):

\( t \cancel{=} 1 \rightarrow 5^x \cancel{=}1\rightarrow x \cancel{=}0\)

valutiamo ora il valore assoluto:

\( | \frac{15t+5}{(t-1)^2}|= \left\{\begin{matrix}( \frac{5(3t+1)}{(t-1)^2}) (quando) \frac{5(3t+1)}{(t-1)^2}\geq 0\\ -( \frac{5(3t+1)}{(t-1)^2}) (quando) \frac{5(3t+1)}{(t-1)^2}<0\end{matrix}\right. \)

Studiamo la disequazione:

\(\frac{5(3t+1)}{(t-1)^2} \geq 0\)

Il numeratore è positivo o nullo quando:

\(t \geq -\frac{1}{3}\)

Ricordiamo che \(t \cancel{=}1\) quindi il rapporto è positivo per:

\(-\frac{1}{3} \leq t < 1 \vee t > 1\)

Aggiornando il valore assoluto si ha:

Passaggi matematici con spiegazione dove si esegue la disequazione

Studiamo la disequazione:

\(\frac{5(3t+1)}{(t-1)^2}<0\)

Il numeratore è negativo quando:

\(t < -\frac{1}{3}\)

Ricordiamo che \(t \cancel{=}1\) quindi il rapporto è negativo per:

\(t<-\frac{1}{3}\)

Aggiornando il valore assoluto si ha:

Passaggi matematici con spiegazione dove si esegue la disequazione

Ricordiamo che la richiesta iniziale era:

\( |\frac{5(3t+1)}{(t-1)^2}| < 5 \)

Studiamo la seguente equazione stando attenti agli intervalli:

\( (\frac{5(3t+1)}{(t-1)^2})<5\)

\(\frac{(3t+1)-(t-1)^2}{(t-1)^2}<0\)

\(-\frac{t^2-5t}{(t-1)^2}<0\)

\(-\frac{t(t-5)}{(t-1)^2}\)<0\)

Il denominatore non è mai minore di zero, mentre il numeratore è minore di zero per:

\(t<0 \vee t>5\)

Quindi il rapporto è negativo per:

\(t<0 \vee t>5\)

Considerando che deve essere: \( -\frac{1}{3} \leq t < 1 \vee t> 1\) si ha:

\(-\frac{1}{3} \leq t <0 \vee t>5\)

Studiamo ora la seguente forma stando attenti agli intervalli:

\(-(\frac{5(3t+1)}{(t-1)^2})<5\)

\(-\frac{(3t+1)-(t-1)^2}{(t-1)^2}<0\)

\(\frac{t^2-5t}{(t-1)^2}<0\)

\(\frac{t(t-5)}{(t-1)^2}<0\)

Il denominatore non è mai minore di zero, mentre il numeratore è minore di zero per:

\(0 <t<5\)

Quindi il rapporto è negativo per:

\(0<t<5\)

Considerando che deve essere \(t<-\frac{1}{3}\) non si hanno soluzioni ammissibili.

Le uniche soluzioni ammissibili sono dunque:

\(-\frac{1}{3} \leq t <0 \vee t>5\)

E quindi ricordando che \(t=5^x\):

\(-\frac{1}{3} \leq 5^x <0 \vee 5^x>5\)

Quindi l’unica soluzione ammissibile è:

\(x>1\)

Ti è stato utile l’articolo? Inoltre ti consigliamo di guardare:

Come risolvere le disequazioni di primo grado

Come risolvere le disequazioni fratte di primo grado

Esempio di come risolvere una disequazione di secondo grado fratta

Disequazione di un rapporto in cui il denominatore ha il valore assoluto

Senza categoria
Translate »