Livello: “(scuola superiore, università)”.
Materia: “(matematica)”.
Testo
Si voglia risolvere la seguente disequazione:
Soluzione
Osserviamo che:
\(| \frac{15\cdot 5^x+5}{5^{2x}-2\cdot 5^x+1}|<5\)
Posto \(t=5^x\) si ha:
\( | \frac{15t+5}{t^2-2t+1}|<5\)
Quindi:
\( | \frac{5(3t+1)}{(t-1)^2}|<5\)
CE (“Condizioni di esistenza“):
\( t \cancel{=} 1 \rightarrow 5^x \cancel{=}1\rightarrow x \cancel{=}0\)
valutiamo ora il valore assoluto:
\( | \frac{15t+5}{(t-1)^2}|= \left\{\begin{matrix}( \frac{5(3t+1)}{(t-1)^2}) (quando) \frac{5(3t+1)}{(t-1)^2}\geq 0\\ -( \frac{5(3t+1)}{(t-1)^2}) (quando) \frac{5(3t+1)}{(t-1)^2}<0\end{matrix}\right. \)
Studiamo la disequazione:
\(\frac{5(3t+1)}{(t-1)^2} \geq 0\)
Il numeratore è positivo o nullo quando:
\(t \geq -\frac{1}{3}\)
Ricordiamo che \(t \cancel{=}1\) quindi il rapporto è positivo per:
\(-\frac{1}{3} \leq t < 1 \vee t > 1\)
Aggiornando il valore assoluto si ha:
Studiamo la disequazione:
\(\frac{5(3t+1)}{(t-1)^2}<0\)
Il numeratore è negativo quando:
\(t < -\frac{1}{3}\)
Ricordiamo che \(t \cancel{=}1\) quindi il rapporto è negativo per:
\(t<-\frac{1}{3}\)
Aggiornando il valore assoluto si ha:
Ricordiamo che la richiesta iniziale era:
\( |\frac{5(3t+1)}{(t-1)^2}| < 5 \)
Studiamo la seguente equazione stando attenti agli intervalli:
\( (\frac{5(3t+1)}{(t-1)^2})<5\)
\(\frac{(3t+1)-(t-1)^2}{(t-1)^2}<0\)
\(-\frac{t^2-5t}{(t-1)^2}<0\)
\(-\frac{t(t-5)}{(t-1)^2}\)<0\)
Il denominatore non è mai minore di zero, mentre il numeratore è minore di zero per:
\(t<0 \vee t>5\)
Quindi il rapporto è negativo per:
\(t<0 \vee t>5\)
Considerando che deve essere: \( -\frac{1}{3} \leq t < 1 \vee t> 1\) si ha:
\(-\frac{1}{3} \leq t <0 \vee t>5\)
Studiamo ora la seguente forma stando attenti agli intervalli:
\(-(\frac{5(3t+1)}{(t-1)^2})<5\)
\(-\frac{(3t+1)-(t-1)^2}{(t-1)^2}<0\)
\(\frac{t^2-5t}{(t-1)^2}<0\)
\(\frac{t(t-5)}{(t-1)^2}<0\)
Il denominatore non è mai minore di zero, mentre il numeratore è minore di zero per:
\(0 <t<5\)
Quindi il rapporto è negativo per:
\(0<t<5\)
Considerando che deve essere \(t<-\frac{1}{3}\) non si hanno soluzioni ammissibili.
Le uniche soluzioni ammissibili sono dunque:
\(-\frac{1}{3} \leq t <0 \vee t>5\)
E quindi ricordando che \(t=5^x\):
\(-\frac{1}{3} \leq 5^x <0 \vee 5^x>5\)
Quindi l’unica soluzione ammissibile è:
\(x>1\)
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