Come risolvere una disequazione del valore assoluto di un rapporto con esponenziali

Livello: “(scuola superiore, università)”.

Materia: “(matematica)”.

Testo

Si voglia risolvere la seguente disequazione:

Soluzione

Osserviamo che:

\(| \frac{15\cdot 5^x+5}{5^{2x}-2\cdot 5^x+1}|<5\)

Posto \(t=5^x\) si ha:

\( | \frac{15t+5}{t^2-2t+1}|<5\)

Quindi:

\( | \frac{5(3t+1)}{(t-1)^2}|<5\)

CE (“Condizioni di esistenza“):

\( t \cancel{=} 1 \rightarrow 5^x \cancel{=}1\rightarrow x \cancel{=}0\)

valutiamo ora il valore assoluto:

\( | \frac{15t+5}{(t-1)^2}|= \left\{\begin{matrix}( \frac{5(3t+1)}{(t-1)^2}) (quando) \frac{5(3t+1)}{(t-1)^2}\geq 0\\ -( \frac{5(3t+1)}{(t-1)^2}) (quando) \frac{5(3t+1)}{(t-1)^2}<0\end{matrix}\right. \)

Studiamo la disequazione:

\(\frac{5(3t+1)}{(t-1)^2} \geq 0\)

Il numeratore è positivo o nullo quando:

\(t \geq -\frac{1}{3}\)

Ricordiamo che \(t \cancel{=}1\) quindi il rapporto è positivo per:

\(-\frac{1}{3} \leq t < 1 \vee t > 1\)

Aggiornando il valore assoluto si ha:

Studiamo la disequazione:

\(\frac{5(3t+1)}{(t-1)^2}<0\)

Il numeratore è negativo quando:

\(t < -\frac{1}{3}\)

Ricordiamo che \(t \cancel{=}1\) quindi il rapporto è negativo per:

\(t<-\frac{1}{3}\)

Aggiornando il valore assoluto si ha:

Ricordiamo che la richiesta iniziale era:

\( |\frac{5(3t+1)}{(t-1)^2}| < 5 \)

Studiamo la seguente equazione stando attenti agli intervalli:

\( (\frac{5(3t+1)}{(t-1)^2})<5\)

\(\frac{(3t+1)-(t-1)^2}{(t-1)^2}<0\)

\(-\frac{t^2-5t}{(t-1)^2}<0\)

\(-\frac{t(t-5)}{(t-1)^2}\)<0\)

Il denominatore non è mai minore di zero, mentre il numeratore è minore di zero per:

\(t<0 \vee t>5\)

Quindi il rapporto è negativo per:

\(t<0 \vee t>5\)

Considerando che deve essere: \( -\frac{1}{3} \leq t < 1 \vee t> 1\) si ha:

\(-\frac{1}{3} \leq t <0 \vee t>5\)

Studiamo ora la seguente forma stando attenti agli intervalli:

\(-(\frac{5(3t+1)}{(t-1)^2})<5\)

\(-\frac{(3t+1)-(t-1)^2}{(t-1)^2}<0\)

\(\frac{t^2-5t}{(t-1)^2}<0\)

\(\frac{t(t-5)}{(t-1)^2}<0\)

Il denominatore non è mai minore di zero, mentre il numeratore è minore di zero per:

\(0 <t<5\)

Quindi il rapporto è negativo per:

\(0<t<5\)

Considerando che deve essere \(t<-\frac{1}{3}\) non si hanno soluzioni ammissibili.

Le uniche soluzioni ammissibili sono dunque:

\(-\frac{1}{3} \leq t <0 \vee t>5\)

E quindi ricordando che \(t=5^x\):

\(-\frac{1}{3} \leq 5^x <0 \vee 5^x>5\)

Quindi l’unica soluzione ammissibile è:

\(x>1\)

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