Come risolvere le disequazioni fratte di primo grado

Come si risolve una disequazione?

In questo articolo andiamo a vedere come risolvere una generica disequazione fratta di un rapporto in cui numeratore e denominatore dipendono da \(x\) può essere scritta:

\(\frac{N(x)}{D(x)}<0\) oppure \(\frac{N(x)}{D(x)}>0\)

In cui:

  • \(N(x)\) è il numeratore ed è scritto così perché dipende da x
  •  \(D(x)\) è il denominatore ed è scritto così perché dipende da x

Ogni volta che si ha a che fare con una disuguaglianza o un’equazione si è di fronte a una domanda specifica, che ha delle risposte specifiche, come in tabella sotto.

AspettoDomandaRisposta
\(\frac{N(x)}{D(x)}<0\)Quando è che il rapporto è minore di zero?Numeratore e denominatore hanno segno discorde
\(\frac{N(x)}{D(x)}>0\)Quando è che il rapporto è maggiore di zero?Numeratore e denominatore hanno segno concorde
\(\frac{N(x)}{D(x)}=0\)Quando è che il rapporto è uguale a zero?Il numeratore deve essere uguale a zero

Si faccia ora un esempio concreto. Supponiamo che:

\(N(x)=-x+5 \) ; \(D(x)=4x+7\)

E che venga richiesto quando è che il rapporto è maggiore di zero.

\(\frac{N(x)}{D(x)}>0\) \( \rightarrow \)

\( \rightarrow \frac{-x+5}{4x-7}>0\)

Non dimentichiamo (vedi tabella) l’obiettivo, che è quello di scoprire dove numeratore e denominatore hanno segno concorde. Ci potremmo chiedere per esempio:

\(\frac{-x+5}{4x-7}>0\)

Se la interpretassimo come se fosse una funzione la richiesta sarebbe:

\(y=\frac{-x+5}{4x-7} \rightarrow y>0\)

Che si tradurrebbe nella richiesta “per quali valori di \(x\) l’iperbole è positiva?”.

Graficamente parlando..

Tracciando su Geogebra l’iperbole si ottiene che i valori di \(x\) per cui la funzione è positiva sono quelle indicate in violetto nella figura seguente.

Grafico che mostra dove la funzione è positiva per la disequazione fratta presa in esame

Tali regioni possono essere confermate anche algebricamente. Infatti, se si prosegue con lo studio del rapporto:

\(\frac{-x+5}{4x-7}>0\)

Si possono ottenere i valori di \(x\) attesi.

Per scoprire dove numeratore e denominatore hanno segno concorde poniamo di volerli studiare separatamente:

\(N(X)>0\)

\(D(X)>0\)

Quindi:

\(-x+5>0 \rightarrow x < 5\)

\(4x-7>0 \rightarrow x> \frac{7}{4}\)

Nella figura seguente vengono mostrate le regioni di positività e negatività di tutti gli attori coinvolti (numeratore, denominatore e rapporto), evidenziando come il rapporto sia positivo esattamente per i valori di \(x\) attesi come da grafico di Geogebra.

Figura che mostra le regioni di positività e negatività di tutti gli attori coinvolti nella nostra (disequazione fratta)

Quindi i valori di \(x\) che rendono il rapporto positivo sono :

\(\frac{7}{4}<x<5\)

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Come risolvere le disequazioni di primo grado

Esempio di come risolvere una disequazione di secondo grado fratta

Disequazione di un rapporto in cui il denominatore ha il valore assoluto

Come risolvere una disequazione del valore assoluto di un rapporto con esponenziali

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