L’effetto del valore assoluto sulle rette

Il valore assoluto è un operatore matematico che, dato un valore, lo rende positivo. Tale operatore può essere applicato anche alle funzioni e non solo ai valori singoli.

Quando il valore assoluto viene applicato a una funzione ecco che ne viene definita una funzione a tratti. Supponiamo di voler applicare il valore assoluto a una generica funzione \(f(x)\) allora viene così definito.

(Qui di seguito potrai scaricare tutti i grafici con la teoria, inerenti alle rette trattate).

\(|f(x)|= \left\{\begin{matrix}+f(x)\; \;per \;\;f(x)\geq0\\-f(x)\; \; per\; \; f(x)<0\end{matrix}\right.\)

Questo vuol dire quanto segue:

• Quando la funzione positiva non viene applicata nessuna variazione di segno;
• quando la funzione negativa gli viene aggiunto un meno davanti.

Osservazione: il valore assoluto che agisce sulla funzione non sta agendo sulla variabile \(x\) quindi positivizzare la funzione non significa positivizzarla dove \(x\) è negativo.

Prendiamo il caso semplice di una retta che passa per l’origine con coefficiente angolare pari a due. Supponiamo che di tale retta vogliamo ottenerne il valore assoluto. Stiamo parlando dunque della seguente funzione:

\(f(x)=2x\)

Di cui, farne il valore assoluto significa ottenere:

\(|2x|= \left\{\begin{matrix}+2x\; \;per \;\;2x\geq0\\-2x\; \; per\; \; 2x<0\end{matrix}\right.\)

Che si traduce in:

\(|2x|= \left\{\begin{matrix}+2x\; \;per \;\; x\geq0\\-2x\; \; per\; \; x<0\end{matrix}\right.\)

Graficamente si può notare come la retta originaria e il suo valore assoluto differiscono solo per la regione di piano cartesiano in cui le \(x\) sono negative. Infatti la funzione valore assoluto ha valori di ordinata mai negativi, anche per valori di \(x\) negativi.

Supponiamo ora di avere la stessa retta ma traslata verso l’alto di \(3\) In tale caso si avrebbe:

\(f(x)=2x+3\)

Per trovare il valore di \(x\) per cui \(f(x)=0\) si impone:

\(0=2x+3\)

Da cui si può facilmente dedurre che:

\(2x+3=0 \rightarrow x = -\frac{3}{2}\)

Il valore assoluto della \(f(x)\) sarà dato da:

\(|f(x)|= \left\{\begin{matrix}+(2x+3)\; \;per \;\;2x+3\geq0\\-(2x+3)\; \; per\; \; 2x+3<0\end{matrix}\right.\)

Quindi:

\(|f(x)|= \left\{\begin{matrix}+(2x+3)\; \;per \;\;x\geq -\frac{3}{2}\\-(2x+3)\; \; per\; \; x<-\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Di seguito riportiamo la differenza tra la retta e il suo valore assoluto. Come si vede l’asse di simmetria del valore assoluto non è più \(x=0\) ma è diventato \(x=-\frac{3}{2}\) che è l’esatto punto in cui la retta \(2x+3\) interseca l’asse delle ascisse.

Possiamo fare un esempio diverso. Facciamo conto di chiedere il valore assoluto di una parte della funzione \(f(x)=2x+3\). In tale caso si potrebbe considerare:

\(y=|2x|+3\)

Per tale casistica si ha una definizione di valore assoluto come di seguito:

\(|2x|+3= \left\{\begin{matrix}+(2x)+3\; \;per \;\;2x\geq 0\\-(2x)+3\; \; per\; \; 2x<0\end{matrix}\right.\)

Quindi:

\(|2x|+3= \left\{\begin{matrix}+2x+3\; \;per \;\;x\geq 0\\-2x+3\; \; per\; \; x<0\end{matrix}\right.\)

Come si può notare l’asse di simmetria è stato rispostato ed è \(x=0\)

Rappresentiamo graficamente gli ultimi due casi di rette affrontati e la loro differenza.

È possibile apprezzare in queste due rette, come il valore assoluto della sola quantità \(2x\), nella retta \(2x+3\), abbia imposto un valore minimo della funzione \(|2x| +3 \) per \(y=3\) mentre per tutti gli altri casi precedenti è sempre stato \(y=0\)