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Svolgimento e la soluzione di un esercizio sul moto rettilineo uniforme 

Testo 

Sto correndo al mare e sono in una strada dritta. Se guardo in terra vedo scritto 100m e guardando l’orologio noto che sono le 21:37. Dopo un po’ guardo in terra e vedo scritto 550m e, guardando l’orologio noto che sono le 21:39. Quale è la mia velocità media? 

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Esercizio numero 14 pag. 913 (L’Amaldi per i licei scientifici blu 2)

Testo

Quattro conduttori paralleli tra loro sono fissati ai vertici di un quadrato, come mostrato in figura, di lato \(l=1.0cm\). in tutti i fili circola una corrente di \(10A\), nei fili 1, 2 e 3 uscenti dal foglio, nel filo 4 entrante.

Calcola modulo, direzione e verso della forza totale per unità di lunghezza che agisce sul filo 1.

Prerequisiti

per risolvere questo problema è necessario conoscere:

  • La formula della forza di attrazione o repulsione di due fili percorsi da corrente;
  • Le procedure per effettuare la scomposizione dei vettori;
  • Le procedure per effettuare la somma vettoriale;
  • I concetti di modulo, direzione e verso del vettore.

Soluzione

Si ricordi che, per due fili percorsi da corrente, vale la seguente:

\(\overrightarrow{\boldsymbol{F}}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l \cdot \hat{\mathbf{u}}_{r}\)

in cui:

  • \(\vec{F}\) è la forza di attrzione tra i due fili;
  • \(\frac{\mu}{2 \pi}\) è una costante, di cui \({\mu}\) è la permeabilità magnetica del mezzo nel quale si trovano i fili.
  • \(i_{1}\) è la corrente che attraversa il primo filo;
  • \(i_{2}\) è la corrente che attraversa il secondo filo;
  • \(d\) è la distanza tra i due fili;
  • \(l\) è la lunghezza dei fili;
  • \(\hat{\mathbf{u}}_{r}\), è un versore (vettore di modulo uno ) che si trova sula direzione che definisce la distanza tra i due fili.

Nel nostro caso di ha che le forze per unità di lunghezza sono:

\( \frac{\mathbf{\vec{F}_{12}}}{l_{f}}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d_{12}} \cdot \hat{\mathbf{u}}_{r, 12} \)

e

\(\frac{\mathbf{\vec{F}_{13}}}{l_{f}}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{3}}{d_{13}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 13}\)

e

\(\frac{\mathbf{\vec{F}_{14}}}{l_{f}}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{4}}{d_{14}} \cdot \hat{\mathbf{u}}_{r, 14}\)

il reale valore della lunghezza dei fili \(l_{f}\) è, ai fini dei calcoli, irrilevante, in quanto viene richiesta la forza per unità di lunghezza.

\(\vec{F}_{tot}=\vec{F}_{12}+\vec{F}_{13}+\vec{F}_{14} \)

Procedendo come richiesto dal problema si osserva che i contributi dovuti a \(l_{f}\) si annullano ovunque, perché tutti i membri a sinistra e a destra dell’uguaglianza sono divisi per \(l_{f}\). Tuttavia, tutti i ragionamenti di seguito valgono per ogni metro di filo percorsa da corrente.

Di seguito troverai il pulsante per scaricare la soluzione completa dell’esercizio.

un servizio impeccabile

Rated 5 out of 5
14 Maggio 2022

cordialità, competenza e disponibilità degli operatori tramite la chat ho trovato immediatamente la soluzione al mio problema.
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Nicola

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14 Maggio 2022

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14 Maggio 2022

Personale competente e cordiale, materiale didattico anche per studenti universitari.

Marco

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14 Maggio 2022

Ho richiesto degli esercizi in merito al mio percorso di studi, mi hanno risposto subito e sono stati molto disponibili nel darmi la soluzione ai miei esercizi. Consiglio il loro servizio

Daniele

Novità per quanto riguarda la didattica e la scuola

Rated 5 out of 5
14 Maggio 2022

Davvero utile

Alberto
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Esercizio esempio sui diagrammi di Bode in un circuito RC

1       Testo

Sia dato un circuito RC con una resistenza pari a \( 1k\Omega \) e una capacità pari a \( 5\mu\ F \). Si scelga un generatore ad ampiezza pari a 2V e oscillazione 5Hz. Considerando la tensione di output \( V_{out} \) quella sul condensatore si determini:

  • l’ampiezza della tensione di output (al condensatore); 
  • la frequenza di taglio del sistema;
  • l’ampiezza dell’output a seguito di una perdita di 3dB di ampiezza;
  • per quale frequenza viene dimezzata l’ampiezza dell’input.

2       Soluzione

Il circuito RC descritto dal testo del problema è rappresentato in figura seguente.

Figura 1 Esempio di circuito RC, il programma utilizzato è LTspice XVII

Si sa che, per la legge alle maglie di Kirchhoff, tutte le tensioni sommate devono fare zero. Perciò in un circuito RC vale che:

\(V_{in}+V_R+V_C=0\)

Ovvero:

\(V_{in}=-V_R-V_C=-V_R-\frac{1}{C}\int_{0}^{t}{i(t)}dt\)

Ricordando che, per la trasformata di Laplace, l’integrale è soggetto alla regola:

\( \mathcal{L}\left[\int_{0}^{t}f\left(\tau\right)dt\right]=\frac{1}{s}F(s) \)

Allora, nel dominio di Laplace, diventa:

\( V_{in}\left(s\right)=-V_R\left(s\right)-\frac{1}{sC}I(s) \)
\( V_{in}\left(s\right)=-RI(s)-\frac{1}{sC}I(s) \)
\( V_{in}\left(s\right)=\left(-1-\frac{1}{sRC}\right)RI(s) \)
\( \frac{V_R\left(s\right)}{V_{in}(s)}=-\frac{sRC}{sRC+1} \)

Quindi…

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Esercizio esempio richiesto su come ridurre un’equazione trigonometrica

Si voglia ridurre la seguente espressione trigonometrica

\( \sin^2{\frac{a}{2}}+sin(30°+a)+sin60°cos( \frac{π}{2}+a) \)

Soluzione

Ricordando che:

\(\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\beta}\cos{\alpha}\)

Si ha:

\( \sin^2{\frac{a}{2}}+sin30°cosa+sinacos30°+sin60°cos(\frac{π}{2}+a) \)

E ricordando che:

\(\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\)

Si ottiene…

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Come trovare il vertice di una parabola ruotata, esercizio di esempio

1       Testo

Si determini il vertice della seguente parabola:

\( x^2-4xy+4y^2-28x-44y+96=0 \)

2       Soluzione

La formula del testo si presenta nella seguente forma generica:

\(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\)

Esisterà un sistema di riferimento per cui è vero che:

\(x=X\cos{\alpha}-Y\sin{\alpha}\)

\(y=X\sin{\alpha}+Y\cos{\alpha}\)

In cui \(\alpha\) è la rotazione tra i due sistemi di riferimento \(xy\) e \(XY\).

Può essere facilmente ricavato che:

\(X=x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}\)

Volendo riscrivere \(X=x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}\) si avrebbe:

\(A(X\cos \alpha-Y\sin \alpha)^2+\)

\( + B(X\cos \alpha-Y\sin \alpha)(X\sin \alpha+Y\cos \alpha) +\)

\(+ C(X\sin \alpha+Y\cos \alpha)^2 +\)

\( + D(X\cos\alpha-Y\sin\alpha) +\)

\(+ E(X\sin \alpha+Y\cos \alpha)+F=0\)

Che riorganizzata potrà essere certamente scritta nella forma:

\( A^\prime X^2+B^\prime XY+C^\prime Y^2+D^\prime X+E^\prime Y+F=0 \)

In cui i nuovi coefficienti dipendono dal nuovo sistema di riferimento. Se il sistema di riferimento fosse rintracciato appropriatamente allora…

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Come risolvere esercizio n.35 pag 177 (Matematica.verde 3G)

L’esercizio è presente anche nei seguenti libri:

  • n.35 pag. 177 Matematica.verde 3A
  • n.35 pag. 255 Matematica.blu 2.0 3 – Seconda edizione
  • n.35 pag. 255 Manuale blu 2.0 di matematica 3A – 3A Plus
  • n.35 pag.215 Matematica.rosso 3 – Seconda edizione

Testo

Riconosci se il fascio di equazione \( 3 a x+4 a y+3 a-1=0 \) è proprio o improprio e determina l’equazione della retta del fascio:

  1. passante per il punto \( \left(\frac{2}{3},-1\right) \);
  2. passante per l’origine;
  3. che dista 1 dall’origine

Prerequisiti

Per risolvere questo esercizio dovrai conoscere:

  1. fascio proprio o improprio;
  2. retta passante per un punto;
  3. retta passante per l’origine;
  4. distanza dalla retta;
  5. coefficiente angolare.

Soluzione

Il coefficiente angolare del fascio è…

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Come determinare il raggio atomico dell’atomo d’idrogeno conoscendo la sua energia di ionizzazione

Testo

Determina il raggio atomico dell’atomo d’idrogeno sapendo che la sua energia di ionizzazione, cioè la minima energia richiesta per allontanare da esso un elettrone, è di 13,6 eV.

Prerequisiti


Per risolvere questo esercizio dovrai conoscere:

  1. I concetti di energia potenziale ed energia cinetica;
  2. La seconda legge della dinamica;
  3. Come invertire le formule;
  4. La carica dell’elettrone e del protone;
  5. La costante di Coulomb;
  6. Il concetto di energia totale
  7. La teoria associata al moto circolare uniforme
  8. Come convertire gli elettronVolt (eV) in Joule (J).

Soluzione

L’elettrone dell’atomo di idrogeno ruota intorno al nucleo mantenendo un’energia potenziale data dalla formula:
Si osservi che…

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Come risolvere esercizio n. 43 pag. 448 – Le traiettorie della fisica.azzurro, Amaldi

1        Testo

I palloni stratosferici sono enormi aerostati in polietilene, che possono raggiungere il diametro di 200 m. Vengono lanciati con un carico di strumenti di rilevazione per effettuare esperimenti scientifici nell’alta atmosfera (possono arrivare a 40.000 m di quota). Un pallone stratosferico pieno di elio (densità \( \rho = 0.179 kg / m^3 \) )sale in aria (densità \( \rho = 1.29 kg / m^3 \) ) sollevato da una spinta ascensionale pari a \( 7.12 \cdot 10^5 N \).

Quale e il volume del pallone? (trascura la massa dell’involucro rispetto alla massa di elio)

2        Soluzione

Per risolvere il problema si deve tenere in considerazione che la spinta netta verso l’alto è il risultato di una spinta che batte anche la forza peso del pallone. Da questa considerazione si può affermare che la spinta ascensionale netta non è uguale alla forza che si utilizzerebbe nella formula di Archimede. Infatti la forza da utilizzare come spinta di Archimede è più grande della forza ascensionale dichiarata dal problema.

\( F_{A r c}=F_{a s c}+m_{e l} g \)

In cui:

  • \( F_{A r c} \) è la forza di Archimede;
  • \( F_{a s c} \) è la forza ascensionale dichiarata dal problema;
  • \( m_{e l} \) è la massa del pallone pieno d’elio;
  • \( g \) è l’accelerazione gravitazionale a cui viene sottoposto il pallone pieno d’elio.

D’altra parte deve essere vero che, per il principio di Archimede:

\( F_{A r c}=\rho_{a} V_{e l} g \)

In cui:

  • \( V_{e l}\) è il volume del pallone d’elio richiesto dal problema;
  • \( \rho_{a} \) è la densità dell’aria ed è un dato del problema.

Quindi:

\( F_{a s c}+m_{e l} g=\rho_{a} V_{e l} g \)

Ma siccome la densità del pallone pieno d’elio è:

\( \rho_{e l}=\frac{m_{e l}}{V_{e l}} \)

Allora si può scrivere anche che:

\( F_{a s c}+\rho_{e l} V_{e l} g=\rho_{a} V_{e l} g \)

Ovvero:

\( V_{e l}=\frac{F_{a s c}}{g\left(\rho_{a}-\rho_{e l}\right)} \approx 6.54 \cdot 10^{4} m^{3} \)

Quindi il volume del pallone pieno d’elio è pari a circa \( 6.54 \cdot 10^{4} m^{3} \).

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Soluzione esercizio pag. 234 n. 25 – Le traiettorie della fisica.azzurro seconda edizione

Testo

La colonnina di mercurio di un termometro da interni a temperatura ambiente è alta \( 12 \mathrm{cm}\), la densità del mercurio è uguale a \(13.6 \cdot 10^{3} \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\)

Qual è il valore della pressione dovuta alla forza-peso del mercurio in fondo al bulbo del termometro?

Thermometer, Summer, Heiss, Heat, Sun, Temperature

Soluzione

Per via della legge di Stevino si procede come segue:

\( P = \rho g h = \)

\( 13.6 \cdot 10^{3} \frac {kg}{m^{3}} \cdot 0.12 m \cdot 9.81 \frac{ m }{ s^2} \approx \)

\( 16 \cdot 10^{3} \frac{kg}{ m^{3}} \cdot m \cdot \frac{ m}{ s^{2}}= \)

\( 16 \cdot 10^{3} \frac{ kg}{m^{2}} \cdot \frac{ m}{ s^{2}}= \)

\( 16 \cdot 10^{3} \frac{ N}{m^{2}} = \)

\( 16 \cdot 10^{3} Pa=16 KPa \)

Perciò la pressione dovuta alla forza-peso del mercurio in fondo al bulbo del termometro è di:

\( 16 KPa \)