Come risolvere le disequazioni di primo grado

Le disequazioni sono delle disuguaglianze tra due espressioni che rispondono a una domanda: per quali valori di \(x\) la disuguaglianza è soddisfatta?

Le disequazioni sono delle disuguaglianze imposte tra due espressioni.

Per esempio:

\(espressione 1>espressione2\)

è una relazione di disuguaglianza in cui \(espressione1\) è maggiore di \(espressione2\).

Tipicamente le disequazioni hanno lo scopo di trovare tutti quei valori dell’incognita che soddisfano la disuguaglianza.

Per esempio:

\(x-2>7\)

Tale disequazione corrisponde a una domanda: “per quali valori di \(x\) l’espressione a sinistra è maggiore di quella a destra?”. Per \(x>9\).

Esempi di disequazioni di primo grado

Esempio 1

Risolviamo questa con l’algebra:

\(x-5<0\)

Aggiungendo a sinistra e a destra 5 si ottiene:

\(5+x-5<0+5\)

\(x<+5\)

Esempio 2

Risolviamo questa con l’algebra:

\(x+5>0\)

Aggiungendo a sinistra e a destra -5 si ottiene:

\(-5+x+5>0-5\)

\(x>-5\)

Esempio 3

Risolviamo questa con l’algebra:

\(-5-x>0\)

Aggiungendo a sinistra e a destra +5 si ottiene:

\(+5-x-5>0+5\)

\(-x>5\)

La scrittura ci dice “scegli un numero a caso e mettici un meno davanti, tale numero deve essere maggiore di 5”. Risulta chiaro che la risposta è:

\(x<5\)

Che si sarebbe potuta ottenere anche per moltiplicando a destra e sinistra per -1 e cambiando il verso della disequazione. Si ricorda infatti che ogni volta che si cambiano i segni delle espressioni a sinistra e a destra della disequazione si deve anche invertire il segno della disequazione perché le relazioni di maggioranza si invertono al cambio del segno.

Altri casi possibili

disequazione	svolgimento	soluzione
\(-x+5<0\)	\(-x<-5\) \(x>5\)	\(x>5\)
\(x-5<0\)	\(x<5\)	\(x<5\)
\(-x-5<0\)	\(-x<5\) \(x>-5\)	\(x<-5\)
\(x+5<0\)	//	\(x<-5\)
\(x-5>0\)	//	\(x>5\)
\(-x-5>0\)	\(-x>5\) \(x<-5\)	\(x<-5\)
\(x+5>0\)	//	\(x>-5\)
\(-x+5>0\)	\(-x>-5\) \(x<5\)	\(x<5\)

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