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Esempio di come risolvere una disequazione di secondo grado fratta

Testo

Si voglia risolvere la seguente disequazione fratta di secondo grado:

\(\frac{5x^2+3x}{x^2-2x-3}>0\)

Soluzione

Si voglia prima scoprire dove il numeratore \(N(x)\) è maggiore di zero:

\(5x^2+3x>0\)

Si voglia risolvere l’equazione associata:

\(5x^2+3x=0\)

\(x(5x+3)=0\)

Quindi i valori per cui il polinomio si annulla sono:

\(x_1=-\frac{3}{5}\)

\(x_2=0\)

Quindi i valori che rendono positivo il numeratore sono:

\(x<-\frac{3}{5} \wedge x>0\)

Si vuole ore scoprire dove il denominatore \(D(x)\) è maggiore di zero:

\(x^2-2x-3>0\)

Si voglia risolvere l’equazione associata:

\(x^2-2x-3=0\)

Quindi i valori per cui il polinomio si annulla sono:

\(x_1=-1;x_2=3\)

Quindi i valori che rendono positivo il denominatore sono:

\(x< -1 \wedge x>3\).

Figura che mostra come viene studiato la positività del segno
Figura 1 Studio della positività del segno.

Il rapporto è positivo per:

\(x<-1 \wedge -\frac{3}{5}<x<0\) \(\wedge >3\)

Quello che è appena stato fatto algebricamente ha un significato analitico nel piano cartesiano. È la ricerca degli intervalli in cui la funzione è positiva, come si può vedere nella figura seguente

Rappresentazione degli intervalli di positività della funzione matematica presa in analisi
Figura 2 Rappresentazione degli intervalli di positività della  funzione in analisi.