Testo
Si voglia risolvere la seguente disequazione fratta di secondo grado:
\(\frac{5x^2+3x}{x^2-2x-3}>0\)
Soluzione
Si voglia prima scoprire dove il numeratore \(N(x)\) è maggiore di zero:
\(5x^2+3x>0\)
Si voglia risolvere l’equazione associata:
\(5x^2+3x=0\)
\(x(5x+3)=0\)
Quindi i valori per cui il polinomio si annulla sono:
\(x_1=-\frac{3}{5}\)
\(x_2=0\)
Quindi i valori che rendono positivo il numeratore sono:
\(x<-\frac{3}{5} \wedge x>0\)
Si vuole ore scoprire dove il denominatore \(D(x)\) è maggiore di zero:
\(x^2-2x-3>0\)
Si voglia risolvere l’equazione associata:
\(x^2-2x-3=0\)
Quindi i valori per cui il polinomio si annulla sono:
\(x_1=-1;x_2=3\)
Quindi i valori che rendono positivo il denominatore sono:
\(x< -1 \wedge x>3\).
Graficamente parlando per la disequazione…![]()
Il rapporto è positivo per:
\(x<-1 \wedge -\frac{3}{5}<x<0\) \(\wedge >3\)
Quello che è appena stato fatto algebricamente ha un significato analitico nel piano cartesiano. È la ricerca degli intervalli in cui la funzione è positiva, come si può vedere nella figura seguente
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