Massa che traina un corpo nel piano inclinato

Testo

Si supponga di avere un piano inclinato e una massa \(m_1=10kg\) poggiata sul piano libera di spostarsi senza attrito. Si supponga inoltre di avere un’altra massa \(m_2=20kg\) agganciata alla massa \(m_1\) tramite corda e carrucola, come mostrato in figura.

Quale è l’accelerazione di \(m_1\)? e se \(m_2\) viene spinta verso l’alto con una forza pari alla metà del peso quanto verrebbe l’accelerazione di \(m_1\)?

Supponi che \(\beta =30°\).

Prima di continuare con la soluzione ti consigliamo:

Cos'è un vettore?

Somma tra vettori

Cosa sono le componenti di un vettore nel piano

Come usare le componenti dei vettori per le somme

Inoltre, ti lasciamo anche la video spiegazione dell’esercizio!

I video sono suddivisi in due parti, la prima parte è già disponibile, la seconda lo sarà presto.

Soluzione per risolvere l’esercizio sul piano inclinato

Domanda 1

La tensione sulla corda deve essere tale per cui la forza su \(m_2\) deve essere uguale su \(m_1\). Il peso che traina è giustamente \(m_2\), anche se questo non vuol dire che \(m_1\), in caso di assenza di \(m_2\), non si sarebbe mosso.

Immagine della massa sul piano inclinato

Si considerino per ora solo le forze peso, come mostrato in figura seguente.

Come si può vedere solo la componente \(x\) di \(F_{p,1}\) contribuisce attivamente all’accelerazione di \(m_1\).

\(\left\{\begin{matrix}y=F_{p,1} \cdot sin \beta + T=F\\F_{p,2}-T=F\end{matrix}\right.\)

Ci sarebbe dunque una \(F\) che traina il sistema dei due blocchi, che è ignota ma che è legata alla tensione di corda e alle rispettive forze peso dei corpi.

Si ricava dunque la tensione di corda come segue:

\(F_{p_1} \cdot sin \beta +T=F_{p,2}-T \rightarrow\)

\(\rightarrow T=\frac{F_{p,2}-F_{p_1} sin \beta}{2} \rightarrow\)

\(\rightarrow T=\frac{m_2g-m-m_1g sin \beta}{2}\)

E la forza \(F\) come segue:

\(F=m_2g-\frac{m_2g-m_1g \cdot sin \beta}{2}\)

\(F=\frac{m_2g+m_1g \cdot sin \beta}{2}\)

\(F=\frac{m_2g+m_1g \sin \beta}{2}\)

E quindi l’accelerazione sulla massa \(m_1\) sarebbe:

\(a_1=\frac{F}{m_1}=\frac{m_2g+m_1g sin \beta}{2m_1}=12.26 \frac{m}{s^2}\)

Domanda 2

Se \(m_2\)  venisse spinta verso l’alto con una forza pari alla metà della sua forza peso il nuovo sistema sarebbe dato da:

\(\left\{\begin{matrix}F_{p,1} \cdot sin \beta +T=F\\F_{p,2}-\frac{1}{2}m_2g-T=F\end{matrix}\right.\)

Quindi, facendo i conti, si avrebbe semplicemente:

\(a_1=\frac{F}{m_1}=\frac{\frac{1}{2}m_2g+m_1g \; sin \beta}{2m_1}\approx 7.36 \frac{m}{s^2}\)