Pubblicato il

Somma tra vettori

La somma dei vettori non ha un significato a cui si è tipicamente abituati, come nel conteggio, per esempio, del quantitativo dei litri in un contenitore. Avere due litri in un recipiente e aggiungerne 3 vuol dire avere 5 litri, semplice.

Per i vettori invece non è così, è diverso, perché non è detto che, per esempio, due forze, una dal modulo di 2N e una dal modulo di 3N, abbiano somma 5N. Per fare più chiarezza consideriamo due forze generiche \(\overrightarrow{F_1}\) e \(\overrightarrow{F_2}\) con modulo e direzione differente.

 Due vettori che rappresentano due forze con moduli e direzioni differenti
Figura 1 Due vettori che rappresentano due forze con moduli e direzioni differenti

È intuitivo identificare il modulo della forza risultante \(\overrightarrow{R_2}\) con la diagonale del parallelogramma che si può costruire dalle due forze \(\overrightarrow{F_1}\) e \(\overrightarrow{F_2}\) come rappresentato in figura seguente.

Figura grafica Due vettori del piano identificano sempre un parallelogramma.
Figura 2 Due vettori del piano identificano sempre un parallelogramma.

Si capisce quindi meglio il perché del fatto che non è detto che la somma di due forze sia una semplice somma aritmetica.

Questo perché quando ci si riferisce al valore numerico della somma vettoriale si intende la lunghezza della risultante, cioè il valore del modulo della risultante, che non ha un senso aritmetico, ma più strettamente geometrico e viene identificata, nel piano, con la diagonale del parallelogramma.

Anche in tre dimensioni è così e lì la diagonale sarà quella di un prisma. Per dimensioni oltre la terza invece il vettore non è più rappresentabile sebbene, idealmente, mantenga lo stesso significato geometrico.

Calcolare la somma di due vettori..

è dunque un problema più geometrico che aritmetico. Per capire come estendere la tecnica a più dimensioni si può provare a capire come sommare nel piano, cercando ogni volta la diagonale del parallelogramma.

Ci sono dei casi in cui calcolare la diagonale del parallelogramma è estremamente semplice, pensiamo a un rettangolo o al caso di un quadrato.

in figura viene mostrata la rappresentazione di somma vettoriale (quindi tra vettori)  in cui la diagonale è semplicemente quella di un quadrato (a sinistra) o quella di un rettangolo (a destra)
Figura 3 Rappresentazione di somma vettoriale in cui la diagonale è semplicemente quella di un quadrato (a sinistra) o quella di un rettangolo (a destra)

Si sa per esempio che la diagonale di un quadrato è pari a:

\(D= \sqrt{2l}\)

Quindi il modulo della risultante di due vettori uguali e perpendicolari è la diagonale di un quadrato.

Se invece i due vettori che devono essere sommati sono perpendicolari ma non uguali allora siamo nel caso di somma vettoriale in cui la risultante è la diagonale di un rettangolo. La diagonale di un rettangolo può essere trovata sfruttando il teorema di Pitagora per i triangoli rettangoli, perché un rettangolo può sempre essere costruito considerando due triangoli rettangoli uguali.

Supponendo dunque che \(h\) sia altezza del rettangolo e \(b\) sia la base del rettangolo, la diagonale si calcola con il teorema di Pitagora come nella seguente formula:

\(D=\sqrt{h^2+b^2}\)

Parliamo ora in termini vettoriali:

Per il caso del quadrato si ha che, se \(\overrightarrow{F_1}\) e \(\overrightarrow{F_2}\) stanno sui lati di un quadrato il modulo della risultante, indicato con \(|| \overrightarrow{R}||\), è pari a:

\(|| \overrightarrow{R}||= \sqrt{2} || \overrightarrow{F_1}|| = \sqrt{2} || \overrightarrow{F_2}||\)

In cui: \(|| \overrightarrow{F_1}||\) e \(|| \overrightarrow{F_2}||\) indicano rispettivamente il modulo di \(\overrightarrow{F_1}\) e \(\overrightarrow{F_2}\)

Ci sono altri due casi semplici..

  • Vettori paralleli
  • Vettori antiparalleli

I vettori paralleli stanno sulla stessa retta, hanno stesso verso ma differiscono, al più, in modulo. In questo caso il modulo della risultante è la somma dei moduli dei vettori.

I vettori antiparalleli stanno sulla stessa retta, hanno verso opposto e possono differire anche in modulo. In questo caso il modulo della risultante è la differenza dei moduli dei vettori.

Quando invece ci troviamo a dover calcolare la diagonale del parallelogramma, che è il caso più generico che possiamo incontrare, dobbiamo sfruttare la scomposizione vettoriale, perché è il modo più semplice per scoprire la diagonale del parallelogramma.

La via più immediata per trovare la diagonale del parallelogramma è disegnare il parallelogramma stesso e misurarne la diagonale. Non è un metodo numericamente preciso ma conferisce un’idea veloce di quanto ci possiamo aspettare sia la forza.

Cosa sono le componenti di un vettore nel piano APPROFONDISCI

Se vuoi sapere come calcolare la diagonale di un parallelogramma tramite le componenti APPROFONDISCI