Cosa sono le componenti di un vettore nel piano

Difficoltà: Scuola superiore, Università

Materia: Fisica e Matematica

Ogni vettore del piano può essere scomposto in componenti, le componenti di un vettore del piano sono due e vengono rappresentate come due vettori che giacciono su ogni asse cartesiano e la cui somma è proprio il vettore di partenza. Si parlerà ora di un vettore di forza \( \overrightarrow{F}_1\), le cui componenti vengono nominate \(\overrightarrow{F}_{1,x}\) e \(\overrightarrow{F}_{1,y}\) che sono rispettivamente la componente di \( \overrightarrow{F}_1\) sull’asse delle ascisse e la componente \( \overrightarrow{F}_1\) sull’asse delle ordinate.

Spesso possiamo incontrare modi alternativi di annotare le componenti del vettore. Succede infatti che le componenti non vengano indicate come vettori ma piuttosto come scalari, quindi indicate come \( \overrightarrow{F}_{1,x}\) e \( \overrightarrow{F}_{2,y}\) e infatti possibile incontrare spesso la seguente notazione:

\( \overrightarrow{F}_1= \overrightarrow{F}_{1,x}, \overrightarrow{F}_{1,y}\)

In cui le componenti sono indicate come scalari. Il motivo risiede nel fatto che è sempre possibile rappresentare il vettore \(overrightarrow{F}_1\) come una combinazione lineare di due versori (vettori di modulo unitario), moltiplicati per le quantità scalari \( \overrightarrow{F}_{1,x}\) e \( \overrightarrow{F}_{2,y}\), come di seguito:

\(\overrightarrow{F}_1= F_{1,x} \overrightarrow{l}+ F_{2,y} \overrightarrow{j}\)

\(\overrightarrow{l}\) e \(\overrightarrow{j}\) sono due versori, cioè vettori di modulo unitario, che giacciono rispettivamente sull’asse \(x\) e sull’asse \(y\).

In realtà poi, come precedentemente detto, non è obbligatorio declassare \(\overrightarrow{F}_{1,x}\) e \(\overrightarrow{F}_{1,y}\) a scalari, si può anche tranquillamente scrivere che:

\(\overrightarrow{F}_1= \overrightarrow{F}_{1,x} + \overrightarrow{F}_{1,y}\)

Sottolineando come \(\overrightarrow{F}_1\) sia la risultante delle sue componenti.

Quindi..

è fondamentalmente a nostra discrezione decidere come rappresentare \(\overrightarrow{F}_1\) tenendo sempre bene a mente cosa si indica con scalare e cosa come vettore, viste le grosse differenze matematiche che ci sono tra scalari e vettori.

e per il calcolo del modulo del vettore?

Per quel che riguarda il calcolo del modulo del vettore a partire dalle componenti possiamo dire che è anche è piuttosto semplice ricavarlo, perché basta sfruttare il teorema di Pitagora oppure gli operatori seno e coseno. Vediamo ora come si fa.

Per il teorema di Pitagora vale la seguente:

\(|| \overrightarrow{F}_1||=\sqrt{F_{1,x}+F_{1,y}}\)

\( F_{1,x}\) e \( F_{2,y}\) come detto, si indicano senza il simbolo di vettore, perché in realtà, \( \overrightarrow{F}_1\) viene scritta spesso come una combinazione lineare di due versori, moltiplicati per la quantità scalari \( F_{1,x}\) e \( F_{2,y}\).

Quindi supponendo di conoscere \( F_{1,x}\) e \( F_{2,y}\) è sempre possibile trovare il modulo della forza \( \overrightarrow{F}_1\).

Abbiamo tuttavia detto che non per forza deve essere sfruttato il teorema di Pitagora, ma anche il seno e il coseno possono essere sfruttati nella ricerca delle componenti o del modulo della forza \( \overrightarrow{F}_1\) Si può per esempio dire che, se \(\alpha\) è l’angolo tra il vettore \( \overrightarrow{F}_1\) e \( \overrightarrow{F}_{1,x}\) rappresentati precedentemente, allora:

\( F_{1,x}=|| \overrightarrow{F}_1|| cos \alpha\)

\( F_{1,y}=|| \overrightarrow{F}_1|| sin \alpha\)

Da cui, combinando con il teorema di Pitagora, risulta anche vero che:

\(|| \overrightarrow{F}_1||= \sqrt{(|| \overrightarrow{F}_1||cos \alpha)^2+(|| \overrightarrow{F}_1||sin \alpha)^2}\)