Come usare le componenti dei vettori per le somme

Abbiamo già detto che la somma dei vettori non ha un significato a cui si è tipicamente abituati, come nel conteggio, per esempio, del quantitativo dei litri in un contenitore. Avere due litri in un recipiente e aggiungerne 3 vuol dire avere 5 litri, semplice.

Per i vettori invece non è così. Per i vettori è diverso, perché non è detto che, per esempio, due forze, una dal modulo di 2N e una dal modulo di 3N, abbiano somma 5N. Per fare più chiarezza consideriamo due forze generiche \( \overrightarrow{F_1}\) e \(\overrightarrow{F_2}\) con modulo e direzione differente.

è intuitivo..

Identificare il modulo della forza risultante \(\overrightarrow{R}\) con la diagonale del parallelogramma che si può costruire dalle due forze \(\overrightarrow{F_1}\) \(\overrightarrow{F_2}\), come rappresentato in figura seguente:

Supponiamo di avere il parallelogramma appena discusso orientato casualmente nel piano cartesiano. È sempre possibile, per ogni vettore identificarne le componenti, come per esempio in figura seguente:

Trovare le componenti è anche piuttosto semplice, perché basta sfruttare il teorema di Pitagora oppure gli operatori seno e coseno.

Per il teorema di Pitagora vale la seguente:

\(|| \overrightarrow{F_1}||=\sqrt{F_{1,x}^2+F_{1,y}^2}\)

\(F_{1,x}^2\) e \(F_{1,y}^2\) si indicano tipicamente senza il simbolo di vettore, perché in realtà, \(\overrightarrow{F_1}\) viene scritta spesso come una combinazione lineare di due versori, moltiplicati per le quantità scalari \(F_{1,x}\) e \(F_{1,y}\), come di seguito:

\((\overrightarrow{F_1}=F_{1,x}\overrightarrow{l}+F_{1,y} \overrightarrow{j}\)

\(\overrightarrow{l}\) e \(\overrightarrow{j}\) sono due versori, cioè vettori di modulo unitario, che giacciono rispettivamente sull’asse \(x\) e sull’asse \(y\). In realtà poi non è obbligatorio declassare \(\overrightarrow{F_{1,x}}\) e \(\overrightarrow{F_{1,y}}\) a scalari, si può anche tranquillamente scrivere che:

\(\overrightarrow{F_1}= \overrightarrow{F_{1,x}} + \overrightarrow{F_{1,y}} \)

Sottolineando come \( \overrightarrow{F_1}\) sia la risultante delle sue componenti.

Tuttavia..

Abbiamo tuttavia detto che non per forza deve essere sfruttato il teorema di Pitagora, ma anche il seno e il coseno possono essere sfruttati nella ricerca delle componenti. Si può per esempio dire che, se \(\alpha\) è l’angolo tra il vettore \( \overrightarrow{F_1}\) e \(\overrightarrow{F_{1,x}}\) rappresentati precedentemente, allora:

\(\overrightarrow{F_{1,x}}= || \overrightarrow{F_1}|| cos \alpha\)

\(\overrightarrow{F_{1,y}}= || \overrightarrow{F_1}|| sin \alpha\)

E lo stesso discorso vale per ogni vettore del piano.

La cosa interessante della ricerca delle componenti è che tramite la loro somma si può determinare il modulo della risultante, rendendo geometricamente facile il rintracciamento della diagonale del parallelogramma.

Osserviamo infatti che:

\(\overrightarrow{R}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=( \overrightarrow{F_{1,x}} +\overrightarrow{F_{1,y}})+ ( \overrightarrow{F_{2,x}} +\overrightarrow{F_{2,y}} )\)

Da cui si può intuire facilmente che:

\(\overrightarrow{R_x}= \overrightarrow{F_{1,x}} + \overrightarrow{F_{2,x}}\)

e

\(\overrightarrow{R_y}= \overrightarrow{F_{1,y}} + \overrightarrow{F_{2,y}}\)

Quindi sommando le componenti di \(\overrightarrow{F_1}\) e \(\overrightarrow{F_2}\) è possibile trovare le componenti di \(\overrightarrow{R}\) e di conseguenza il modulo, tramite il teorema di Pitagora per esempio.