Esercizio di Fisica: Quanta massa ha l’altro bambino?

Testo

Esercizio: due bambini sono seduti su ciascuna delle estremità di una tavola lunga 3.5m. La tavola è fissata su un punto che dista 2m dall’estremità su cui si trova un bambino che pesa 400N. Quanto massa ha l’altro bambino?

Soluzione

Dal testo si assume che la situazione in cui si trovano i bambini sia di equilibrio, nel senso che la tavola non si muove e che i due bambini sono fermi, ciascuno alle estremità della tavola. In tale condizione deve essere che i due momenti generati dai due bambini sono uguali e perciò:

Dove:

• \( \overrightarrow{M_1}\) è il momento generato dal bambino 1;
• \( \overrightarrow{M_2}\) è il momento generato dal bambino 2.

Quindi in generale la precedente uguaglianza è anche uguale a:

\( {\overrightarrow{F}}_{P,1}\times {\overrightarrow{r}}_1={\overrightarrow{F}}_{P,2}\times {\overrightarrow{r}}_2\)

Dove:

• \( \overrightarrow{F}_{P,1}\) è la forza peso del bambino 1;
• \( \overrightarrow{F}_{P,2}\) è la forza peso del bambino 2;
• \( \overrightarrow{r}_1\) è il vettore posizione del bambino 1rispetto al fulcro;
• \( \overrightarrow{r}_2\) è il vettore posizione del bambino 2 rispetto al fulcro.

In questo caso particolare (testo di esercizio liceale) si deve supporre una condizione nella quale la tavola è perfettamente parallela al terreno, poiché non da specifici angoli di inclinazione della tavola. Per questo motivo nella precedente uguaglianza si deve supporre che il vettore posizione sia anche braccio per entrambi i bambini e quindi deve essere che:

\( \left\|{\overrightarrow{F}}_{P,1}\right\|\left\|{\overrightarrow{b}}_1\right\|=\left\|{\overrightarrow{F}}_{P,2}\right\|\left\|{\overrightarrow{b}}_2\right\|\)

Dove:

• \( \left\|{\overrightarrow{F}}_{P,1}\right\|\) è il modulo della forza peso del bambino 1;
• \( \left\|{\overrightarrow{F}}_{P,2}\right\|\) è il modulo della forza peso del bambino 2;
• \( \left\|{\overrightarrow{b}}_1\right\|\) è il modulo del braccio del bambino 1. In generale vale \( \left\|{\overrightarrow{b}}_1\right\|\mathrm{=}\left\|{\overrightarrow{r}}_1\right\|{\mathrm{sin} {\alpha }_1\ }\);
• \( \left\|{\overrightarrow{b}}_2\right\|\) è il modulo del braccio del bambino 2. In generale vale \( \left\|{\overrightarrow{b}}_2\right\|\mathrm{=}\left\|{\overrightarrow{r}}_2\right\|{\mathrm{sin} {\alpha }_2\ }\);

Quindi:

\( \left\|{\overrightarrow{F}}_{P,2}\right\|=\frac{\left\|{\overrightarrow{F}}_{P,1}\right\|\left\|{\overrightarrow{b}}_1\right\|}{\left\|{\overrightarrow{b}}_2\right\|}=\frac{\mathrm{400N}\mathrm{\cdot }\mathrm{2m}}{\mathrm{1.5}\mathrm{m}}\approx 533.33N\)

Per calcolare la massa del bambino di interesse è necessario ricordare che:

\( \overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}\)

Nel nostro caso deve essere:

\( {\overrightarrow{F}}_{P,2}=m_2\cdot \overrightarrow{g}\)

In cui:

• \(\overrightarrow{F}_{P,2}\) è la forza peso del bambino 2;
• \(m_2\) è la massa del bambino di interesse;
• \( \overrightarrow{g}\) è il vettore accelerazione gravitazionale, il cui modulo è circa uguale a \( \left\|\overrightarrow{g}\right\|=9.81\frac{m}{s^2}\).

Quindi per risolvere l’esercizio:

\(m_2=\frac{\left\|{\overrightarrow{F}}_{P,2}\right\|}{\left\|\overrightarrow{g}\right\|}=\frac{533.33N}{9.81\frac{m}{s^2}\ }\approx 54.36Kg\)

La massa del secondo bambino è dunque circa uguale a \( 54.36Kg\).

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