Calcolo dell’accelerazione di un sistema di tre masse legate a una corda

Testo

Si supponga che tre masse siano legate tramite corda secondo il sistema a carrucole rappresentato nella figura seguente.

Si supponga che la massa del corpo A \(m_a\) sia pari a \(2kg\) , che \(m_b=3kg\) e che \(m_c =1kg\).

Determinare l’accelerazione della massa A nel piano orizzontale. Determina inoltre la tensione di tutte le corde.

Soluzione

Le due forze peso che tirano la corda sono attribuibili alla massa B e alla massa C e vengono rappresentate in figura seguente.

Possiamo affermare che la forza peso della massa A non contribuisce al suo spostamento, in quanto il problema non discute la presenza di attrito e la normale annulla la forza peso della massa A.

Le normale e la forza peso di A vengono aggiunte nella figura seguente.

Consideriamo ora l’aggiunta dell’illustrazione della tensione di corda. Si tenga in considerazione che la tensione della corda che collega A con B è, in generale, diversa dalla tensione della corda che collega A con C. Perciò si farà riferimento a \(T_1\) per la tensione della corda che collega A con B mentre si userà \(T_2\) per fare riferimento alla tensione della corda che collega A con C.

Di seguito vengono rappresentate anche le tensioni delle corde.

Se non ci fosse una differenza tra le tensioni di corda allora dovrebbe essere che:

\( \overrightarrow{T}_1+ \overrightarrow{T}_2=0\)

Ma siccome non siamo sicuri che le tensioni siano uguale allora in generale è vero che:

\( \overrightarrow{T}_1+ \overrightarrow{T}_2=\overrightarrow{F}_A\)

Considerando i moduli delle tensioni possiamo dire in generale che:

\(|| \overrightarrow{T}_1|| -|| \overrightarrow{T}_2||=|| \overrightarrow{F}_A||\)

Che si può scrivere (in modo meno rigoroso):

\( \overrightarrow{T}_1- \overrightarrow{T}_2=\overrightarrow{F}_A\)

Quindi:

\(T_1-T_2=F_A\)

Che rappresenta la prima condizione.

Ragioniamo adesso sulla massa B

Deve essere vero che:

\(\overrightarrow{T}_1+\overrightarrow{F}_{P,B}=\overrightarrow{F}_B\)

Considerando i moduli possiamo dire in generale che:

\(|| \overrightarrow{F}_{P,B}|| – ||\overrightarrow{T}_1|| =|| \overrightarrow{F}_B||\)

Che si può scrivere anche:

\(F_{P,B}-T_1=F_B\)

Quindi:

\(F_{P,B}-T_1=m_B a\)

Che è la seconda condizione. Il valore di \(a\) per B è lo stesso di quello di \(a\) della massa A, perciò vengono indicati con notazione uguale.

Ragioniamo ora sulla massa C

Deve essere vero che:

\(\overrightarrow{T}_2+\overrightarrow{F}_{P,C}=\overrightarrow{F}_C\)

Considerando i moduli possiamo dire in generale che:

\(||\overrightarrow{T}_2||-|| \overrightarrow{F}_{P,C}||=|| \overrightarrow{F}_C||\)

Che si può scrivere anche :

\(T_2-F_{P,C}=F_C\)

Quindi:

\(T_2-F_{P,C}=m_c a\)

Che è la terza condizione, il valore di \(a\) è, in definitiva, lo stesso per tutte e tre le masse.

In definitiva:

Di cui le incognite sono \(T_1\) , \(T_2\) e \(a\).

Quindi procedendo con la risoluzione si ha:

L’unica direttamente risolvibile è la prima. Procedendo ad esplicitare l’accelerazione del sistema \(a\) della prima si ha:

\(F_{P,B}-m_Ba-F_{P,C}-m_Ca=m_Aa\)

\(m_Aa+m_Ba+m_Ca=F_{P,B}-F{P,C}\)

\(a(m_A+m_B+m_C)=F_{P,B}-f_{P,C}\)

Ora troviamo la tensione di corda \(T_1\) della seconda condizione:

A questo punto il problema del sistema delle tre masse è terminato perché sono state trovate tutte le tensioni di tutte le corde e anche l’accelerazione del sistema.