Calcolo dell’accelerazione di un sistema di tre masse legate a una corda

Testo

Si supponga che tre masse siano legate tramite corda secondo il sistema a carrucole rappresentato nella figura seguente.

Rappresentazione grafica delle tre masse con la carrucola

Si supponga che la massa del corpo A \(m_a\) sia pari a \(2kg\) , che \(m_b=3kg\) e che \(m_c =1kg\).

Determinare l’accelerazione della massa A nel piano orizzontale. Determina inoltre la tensione di tutte le corde.

Soluzione

Le due forze peso che tirano la corda sono attribuibili alla massa B e alla massa C e vengono rappresentate in figura seguente.

Rappresentazione grafica delle masse ,Le due forze peso che tirano la corda sono attribuibili alla massa B e alla massa C e vengono rappresentate in figura seguente.

Possiamo affermare che la forza peso della massa A non contribuisce al suo spostamento, in quanto il problema non discute la presenza di attrito e la normale annulla la forza peso della massa A.

Le normale e la forza peso di A vengono aggiunte nella figura seguente.

Rappresentazione grafica delle masse, parte della soluzione

Consideriamo ora l’aggiunta dell’illustrazione della tensione di corda. Si tenga in considerazione che la tensione della corda che collega A con B è, in generale, diversa dalla tensione della corda che collega A con C. Perciò si farà riferimento a \(T_1\) per la tensione della corda che collega A con B mentre si userà \(T_2\) per fare riferimento alla tensione della corda che collega A con C.

Di seguito vengono rappresentate anche le tensioni delle corde.

Rappresentazioni delle tensioni delle corde del sistema delle 3 masse

Se non ci fosse una differenza tra le tensioni di corda allora dovrebbe essere che:

\( \overrightarrow{T}_1+ \overrightarrow{T}_2=0\)

Ma siccome non siamo sicuri che le tensioni siano uguale allora in generale è vero che:

\( \overrightarrow{T}_1+ \overrightarrow{T}_2=\overrightarrow{F}_A\)

Considerando i moduli delle tensioni possiamo dire in generale che:

\(|| \overrightarrow{T}_1|| -|| \overrightarrow{T}_2||=|| \overrightarrow{F}_A||\)

Che si può scrivere (in modo meno rigoroso):

\( \overrightarrow{T}_1- \overrightarrow{T}_2=\overrightarrow{F}_A\)

Quindi:

\(T_1-T_2=F_A\)

Che rappresenta la prima condizione.

Ragioniamo adesso sulla massa B

Deve essere vero che:

\(\overrightarrow{T}_1+\overrightarrow{F}_{P,B}=\overrightarrow{F}_B\)

Considerando i moduli possiamo dire in generale che:

\(|| \overrightarrow{F}_{P,B}|| – ||\overrightarrow{T}_1|| =|| \overrightarrow{F}_B||\)

Che si può scrivere anche:

\(F_{P,B}-T_1=F_B\)

Quindi:

\(F_{P,B}-T_1=m_B a\)

Che è la seconda condizione. Il valore di \(a\) per B è lo stesso di quello di \(a\) della massa A, perciò vengono indicati con notazione uguale.

Ragioniamo ora sulla massa C

Deve essere vero che:

\(\overrightarrow{T}_2+\overrightarrow{F}_{P,C}=\overrightarrow{F}_C\)

Considerando i moduli possiamo dire in generale che:

\(||\overrightarrow{T}_2||-|| \overrightarrow{F}_{P,C}||=|| \overrightarrow{F}_C||\)

Che si può scrivere anche :

\(T_2-F_{P,C}=F_C\)

Quindi:

\(T_2-F_{P,C}=m_c a\)

Che è la terza condizione, il valore di \(a\) è, in definitiva, lo stesso per tutte e tre le masse.

In definitiva:

Parte della soluzione delle tre masse matematicamente

Di cui le incognite sono \(T_1\) , \(T_2\) e \(a\).

Quindi procedendo con la risoluzione si ha:

Procedura della risoluzione matematica dell'esercizio, parte finale

L’unica direttamente risolvibile è la prima. Procedendo ad esplicitare l’accelerazione del sistema \(a\) della prima si ha:

\(F_{P,B}-m_Ba-F_{P,C}-m_Ca=m_Aa\)

\(m_Aa+m_Ba+m_Ca=F_{P,B}-F{P,C}\)

\(a(m_A+m_B+m_C)=F_{P,B}-f_{P,C}\)

Parte matematica per risolvere il problema

Ora troviamo la tensione di corda \(T_1\) della seconda condizione:

Calcolo per trovare la tensione della corda T1

A questo punto il problema del sistema delle tre masse è terminato perché sono state trovate tutte le tensioni di tutte le corde e anche l’accelerazione del sistema.

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