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Quando si studia un sistema descritto da un’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, la prima distinzione da fare è tra evoluzione libera ed evoluzione forzata.
L’evoluzione libera rappresenta ciò che il sistema fa da solo, in assenza di ingresso: è il comportamento intrinseco della dinamica.
L’evoluzione forzata, invece, rappresenta la risposta dovuta a un ingresso esterno.
Questa distinzione è fondamentale perché la struttura dell’evoluzione libera dipende unicamente dalla posizione delle radici del polinomio caratteristico, cioè dai poli del sistema. Non dipende dall’ingresso e non dipende dal tipo di condizione iniziale scelta: queste intervengono solo più tardi, nel determinare quanto ciascun modo partecipa alla risposta.
Per questo motivo, quando si imposta un esercizio, si pone inizialmente l’ingresso uguale a zero. Questo non è un arbitrio, ma un modo per isolare la struttura fondamentale del sistema.
L’equazione si riduce così a un’equazione omogenea. Cercare soluzioni della forma e^ptsignifica trasformare il problema da differenziale ad algebrico, portando a costruire quello che chiamiamo polinomio caratteristico.