Piano inclinato con due masse legate da una corda

Testo

Supponi di avere due masse legate da una corda, come mostrato in figura seguente sul piano inclinato.

Figura di un piano inclinato

Sapendo che \(m_1=0,5kg\), \(m_2=1kg\) e \(\alpha =30°\) stima quanto deve essere il coefficiente di attrito su \(m_2\) affinché il sistema delle due masse discenda a velocità costante.

Soluzione

La condizione descritta dal problema è la seguente:

Figura rappresentante un piano inclinato

Quindi sulla massa \(m_2\) :

Figura rappresentante l'esercizio sul piano inclinato

E per \(m_1\) vale la stessa cosa:

Figura rappresentante l'esercizio sul piano inclinato

Si valuti ora che solo la \(m_2\) è sottoposta ad attrito, quindi:

Piano inclinato in figura

Considerando anche la tensione di corda si ha:

Piano inclinato e tensione di una corda e forze messe in gioco

Queste masse devono avere stessa velocità e quindi accelerazione nulla \(a=0\)

Ragioniamo sulla massa \(m_1\):

\(F_{p,1}sin \alpha +T =0\)

Che è la prima condizione.

Ragioniamo sulla massa \(m_2\):

\(F_{p,2} sin \alpha + T – F_a=0\)

Che è la seconda condizione.

Quindi:

\(\left\{\begin{matrix} F_{p,1} sin \alpha -T \\F_{p,2} sin \alpha + T – F_a=0 \end{matrix}\right.\)

Le cui incognite sono tensione di corda e forza d’attrito.

Troviamo subito la tensione di corda:

parte matematica per risolvere l'esercizio sul piano inclinato

Troviamo adesso la forza d’attrito sul piano inclinato:

\(F_{p,2}sin \alpha T -F_a=0 \rightarrow\)

\( \rightarrow F_a=m_2g sin \alpha + T=\)

\(1kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot sin (30°) +2,45N \approx 7,35N\)

La forza d’attrito è definita come segue:

\(F_a= \mu N_2\)

Quindi per risolvere l’esercizio sul piano inclinato :

\( \mu =\frac{F_a}{N_2}=\frac{F_a}{F_{p,2}cos \alpha} =\frac{7,35N}{1kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} \cdot cos (30°)} \approx 0,865\)

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