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Quali considerazioni fare nello studio del moto circolare uniforme?

In matematica, si ha moto circolare uniforme ogni qualvolta un punto materiale, muovendosi, segue la traiettoria di una circonferenza.

In tale tipo di moto il punto materiale non cambia mai il modulo della velocità, sebbene il vettore velocità cambi direzione nel tempo. Quindi il vettore velocità del punto materiale non è costante in quanto cambia direzione ogni istante di tempo. Ogni volta che il vettore velocità cambia si ha un’accelerazione.

Spiegazione grafica di come il vettore velocità rimane in modulo costante, anche se cambia la propria direzione ogni istante di tempo
Figura 1 Il vettore velocità rimane in modulo costante, sebbene cambi la propria direzione ogni istante di tempo

La velocità, essendo un vettore, ha tre caratteristiche principali: modulo, direzione e verso. Ogni volta che cambia una sola di queste tre caratteristiche principali si può dire che la velocità non è costante. Sebbene nel moto circolare uniforme il modulo rimanga costante ciò non è vero per la direzione che ha il verso del vettore associato alla velocità.

Un argomento interessante potrebbe essere quello di valutare come è possibile che la velocità vari pur mantenendo un modulo costante. Questo succede perché il corpo viene sottoposto a un’accelerazione che ha il solo compito di cambiare la direzione la velocità e non il modulo.

Nel moto circolare uniforme esiste una sola accelerazione associata al moto e si chiama accelerazione centripeta, che è un vettore di modulo costante. Tale accelerazione spinge il corpo verso il centro della circonferenza ed è l’unica responsabile del cambio di direzione della velocità.

Grafico dove rappresenta l'accelerazione centripeta in due istanti di tempo diversi in un moto circolare uniforme.
Figura 2 Rappresentazione dell’accelerazione centripeta in due istanti di tempo diversi in un moto circolare uniforme. Il modulo dell’accelerazione è costante e provoca il cambio di direzione (non di modulo) della velocità

La frequenza (o velocità angolare)

La frequenza è una grandezza che viene spesso utilizzata nel moto circolare uniforme, con un’accezione particolare. Nella tabella seguente vengono mostrate i due tipici modi di scrivere le frequenze nel moto circolare uniforme, in termini di unità di misura.

Grandezza utilizzata per esprimere la frequenzaCosa èAnalogie tramite esempi
Hertz [Hz]Valuta quanti giri vengono effettuati in un secondo corrispondono a \(3 \frac{giri}{s}\) corrispondono a \( 6\pi \frac{rad}{s}\)
Radianti[rad]Valuta quanti angoli giri, in radianti, vengono effettuati in un secondo\(\frac{\pi}{2} \frac{rad}{s}\) corrispondono a \(\frac{1}{4} \frac{giri}{s}\)

La velocità angolare, nel moto circolare uniforme, viene quindi anche chiamata frequenza. La velocità angolare può essere misurata o in hertz o in radianti al secondo e viene indicata con la lettera greca \(\omega\) detta “omega” .Questa osservazione vale solo nel moto circolare uniforme, in generale non è così, perché la frequenza non ha sempre lo stesso significato (frequenza cardiaca, frequenza della sinusoide etc.)

Legge oraria lineare

In un moto circolare, così come per il moto rettilineo, valgono tutte le leggi orarie. Quando si parla di moto uniformemente accelerato si utilizza la seguente formula per determinare la posizione di un corpo, al passare del tempo, con una certa accelerazione (costante):

\(x=x_i+v_it+\frac{1}{2}at^2\)

In cui:

  • \(x_i\) è la posizione iniziale del corpo;
  • \(v_i\) è la velocità iniziale del corpo;
  • \(a\) è l’accelerazione del corpo.

Tale formula ci dice quale è la posizione del corpo in ogni istante di tempo dato che sta accelerando costantemente.

Legge oraria angolare

Quando si parla di moto circolare uniforme la questione è esattamente analoga ma semplicemente traslata nel mondo dei radianti:

\(\theta=\theta_i+\omega_i t+\frac{1}{2}\alpha t^2\)

In cui:

  • \(\theta_i\) è la posizione angolare iniziale del corpo;
  • \(\omega_i\) è la velocità angolare inziale del corpo;
  • \(\alpha\) è l’accelerazione angolare del corpo.

Di seguito viene fatto un paragone tra legge oraria per moto circolare e legge oraria per moto lineare.

FormulaSignificatoNote
Lineare: \(x=x_i+v_i t+\frac{1}{2}at^2\)Conferisce la posizione del corpo istante per istante, data una posizione iniziale, una velocità iniziale e un’accelerazione costanteQuesta formula non può essere in nessun modo utilizzata nel moto circolare uniforme, perché presuppone, di sua natura, un moto lineare. In questo caso, infatti, velocità e accelerazione non cambiano direzione. L’accelerazione non cambia né modulo, né direzione, né verso.
Radiale:
\(\theta=\theta_i+\omega_it+\frac{1}{2}\alpha t^2\)
Conferisce la posizione angolare del corpo in un moto circolare uniforme, istante per istante, data una posizione angolare iniziale, una velocità angolare iniziale e un’accelerazione angolare costante.In questo caso è l’accelerazione angolare a essere costante e non l’accelerazione lineare. Non confondere l’accelerazione lineare con quella centripeta.

L’accelerazione tangenziale è l’unica accelerazione che contribuisce al cambio del modulo della velocità tangenziale in un moto circolare uniforme mentre l’accelerazione centripeta è quella che contribuisce al cambio della direzione del verso della velocità nel moto circolare uniforme.

L’accelerazione netta, somma vettoriale dell’accelerazione centripeta e tangenziale, che subisce il corpo, il quale si trova in un moto circolare uniformemente accelerato angolare, ha, in generale, una risultante che punta internamente alla circonferenza ma non verso il centro.

Di seguito vengono riportate le grandezze discusse del moto circolare uniforme.

Nomecommento
\(\theta\)Posizione angolare
\(\omega=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}\)Velocità angolare
\(\alpha=\frac{\Delta \omega}{\Delta t}\)Accelerazione angolare

L’accelerazione angolare è pari dunque a:

\( \alpha=\frac{\Delta \omega}{\Delta t}=\frac{\omega_f-\omega_i}{t_f-t_i}\)

In cui:

  • \(t_i\) è l’istante di tempo iniziale;
  • \(t_f\) è l’istante di tempo finale;
  • \(\omega_i\) è la velocità angolare iniziale del corpo;
  • \(\omega_f\) è la velocità angolare finale del corpo.

Se \(t_i=0\)

\(\alpha=\frac{\omega- \omega_i}{t} \rightarrow\)

\(\alpha t=\omega-\omega_i\)

\(\omega=\omega_i+\alpha t\)

La velocità angolare \(\omega\), istante per istante , varia partendo da una velocità angolare iniziale \(w_i\) e seguendo un incremento dettato dall’accelerazione angolare \(\alpha\) in un tempo prestabilito \(t\).