Salto verticale è uno degli esercizi più utilizzati in biomeccanica per comprendere il legame tra forza, impulso e prestazione motoria. In questo articolo viene mostrato come calcolare la forza netta, l’impulso verticale, la velocità di stacco, l’altezza teorica del salto e la velocità angolare di un segmento corporeo, applicando i principali principi della meccanica del movimento umano. Il contenuto è pensato per studenti che cercano un esercizio svolto sul salto verticale con spiegazione chiara, metodo rigoroso e applicazione pratica della biomeccanica.
In molti esercizi scolastici la formula da usare è quasi dichiarata dal testo. In biomeccanica, invece, il primo problema è decidere quale grandezza fisica rappresenta davvero il fenomeno osservato.
Un salto verticale può essere raccontato in modi diversi. Si può osservare la forza esercitata contro il suolo, la velocità verticale del centro di massa, l’altezza raggiunta oppure la rotazione di un segmento corporeo. Queste descrizioni non sono intercambiabili: ciascuna usa un modello fisico diverso.
La domanda guida è:
| Domanda guida |
| Che cosa sto stimando: una forza, una quantità di moto, una velocità lineare, un’altezza o una velocità angolare? |
Questo documento usa un salto verticale semplificato per mostrare una catena pulita:
| Scopo didattico |
| Capire perché, in biomeccanica, una formula va scelta in base alla grandezza da stimare. La forza serve per costruire la forza netta; la forza netta integrata nel tempo dà l’impulso; l’impulso permette di ricavare la velocità verticale di stacco; la velocità di stacco permette di stimare l’altezza teorica del centro di massa. |
Schema del processo di modellazione biomeccanica
1 Testo dell’esercizio
Un atleta esegue un salto verticale da fermo. Durante la fase di spinta, una pedana di forza registra una forza verticale media di reazione al suolo pari a:
La durata della fase di spinta è:
La massa dell’atleta è:
Durante la parte principale dell’estensione, il segmento gamba-piede ruota di circa:
In un intervallo di tempo pari a:
Usare:
Determinare:
- il peso corporeo dell’atleta;
- la forza netta verticale media durante la spinta;
- l’impulso netto verticale durante la spinta;
- la velocità verticale di stacco;
- l’altezza teorica del salto;
- il modulo della velocità angolare media del segmento gamba-piede.
1.1 Dati organizzati
| Grandezza | Simbolo | Valore | Perché serve |
| Massa atleta | \(m\) | \(72.0 \; kg\) | Permette di calcolare il peso e la velocità da impulso. |
| Accelerazione di gravità | \(g\) | \(9,81 \; m/s^2\) | Serve per peso e moto verticale. |
| Componente verticale media della GRF | \(F_{GRF,y}\) | \(1920 N\) | È la forza verticale media esercitata dal suolo sull’atleta. |
| Tempo di spinta | \(\Delta \; T_{push}\) | \(0,120 \; s\) | Trasforma la forza netta media in impulso netto. |
| Rotazione segmentale | \( \Delta \theta\) | \(42,0°\) | Serve per stimare la velocità angolare media. |
| Tempo della rotazione | \( \Delta t_{tot}\) | \(0,200s\) | Serve per calcolare il modulo di \( vec{ \omega}_{\mathrm{avg}}\) |
2 Glossario delle annotazioni e della notazione
In questo documento le annotazioni non sono decorative. Servono a distinguere che tipo di grandezza stiamo usando: vettore, componente, modulo, intervallo temporale o grandezza scalare.
La regola generale è questa:
| Regola di lettura |
| Se una grandezza ha direzione e verso, viene trattata come vettore. Se usiamo solo la parte verticale, scriviamo la componente con pedice |
2.1 Glossario dei simboli principali
| Simbolo | Tipo di grandezza | Significato | Come si usa nell’esercizio |
| \( \overrightarrow{F}_{GRF}(T)\) | Vettore | Forza di reazione del suolo sull’atleta. | È la forza esterna misurata dalla pedana; può variare nel tempo. |
| \( \overrightarrow{F}_{GRFy}\) | Componente | Componente verticale media della GRF. | È positiva perché scegliamo l’asse |
| Vettore | Peso corporeo, diretto verso il basso. | Entra nella forza netta perché si oppone alla spinta verso l’alto. | |
| Componente | Componente verticale del peso. | Vale \(P_y=-mg\) con asse | |
| |\( \overrightarrow{P}_y\) | | Modulo | Intensità positiva del peso. | Vale \(mg\); non contiene il segno della direzione. |
| \( \overrightarrow{F}_{net}\) | Vettore | Forza risultante sul centro di massa. | È la somma delle forze esterne considerate. |
| \( \overrightarrow{F}_{net,y}\) | Componente | Componente verticale della forza netta. | È la quantità che produce accelerazione verticale del centro di massa. |
| \( \overrightarrow{j}_{net}\) | Vettore | Impulso netto. | È l’effetto della forza netta integrata nel tempo. |
| \( \overrightarrow{j}_{net,y}\) | Componente | Componente verticale dell’impulso netto. | Serve per stimare la componente verticale della velocità di stacco. |
| \( \overrightarrow{v}_{TO}\) | Vettore | Velocità di stacco. | In generale può avere più componenti. |
| \( \overrightarrow{v}_{TO,y}\) | Componente | Componente verticale della velocità di stacco. | È quella usata per stimare l’altezza del salto. |
| Scalare | Altezza teorica del centro di massa. | Non è un vettore: è una distanza verticale positiva. | |
| \( \Delta \theta\) | Spostamento angolare | Variazione dell’orientamento del segmento. | Va convertita in radianti prima di calcolare la velocità angolare. |
| \( \overrightarrow{ \omega}_{avg}\) | Vettore assiale | Velocità angolare media. | La direzione dipende dalla convenzione; qui usiamo solo il modulo. |
| | \( \overrightarrow{ \omega}_{avg} \) | | Modulo | Intensità della velocità angolare media. | Si calcola con | \( \Delta \theta\) | / \( \Delta t_{tot}\) |
2.2 Perché queste scelte di notazione sono necessarie
La notazione separa tre livelli che spesso vengono confusi:
- vettore: descrive intensità, direzione e verso;
- componente: descrive solo la proiezione lungo un asse scelto;
- modulo: descrive solo l’intensità positiva.
Per esempio:
è una forza vettoriale diretta verso il basso, mentre:
è solo il valore positivo del peso. Se si confondono questi due oggetti, il segno della forza netta può essere sbagliato.
Allo stesso modo, in un salto verticale non usiamo genericamente \(V_{TO}\) , ma la componente verticale:
perché l’altezza teorica dipende dalla velocità verticale del centro di massa, non da una velocità generica.
3 Strategia risolutiva prima dei calcoli
Prima di svolgere i conti conviene separare il problema in blocchi. Questo evita l’errore più comune: usare una formula corretta nel punto sbagliato.
3.1 Tabella delle scelte modellistiche
| Blocco | Grandezza misurata o nota | Modello scelto | Perché questa scelta è corretta |
| Peso corporeo | \(m, \; g\) | \( \overrightarrow{P}= -mg \; \; \hat{y}\) | Il peso è la forza che si oppone alla spinta verticale e deve essere incluso nella forza netta. |
| Forza netta | \(F_{GRF,y}\) e \( \; P_y\) | \(F_{net,y}= F_{GRF,y}+ P_y\) | Il centro di massa accelera in base alla risultante delle forze, non alla sola forza misurata dalla pedana. |
| Impulso netto | \(F_{net,y}\) , \( \; \Delta t_{push}\) | \( j_{net,y}=F_{net,y} \Delta \; t_{push}\) | Una forza applicata per un certo tempo modifica la quantità di moto. Qui usiamo la componente verticale. |
| Velocità di stacco | \(j_{net,y} \; \; m\) | \(j_{net,y}=mv_{T0,y}\) | L’atleta parte da fermo, quindi l’impulso netto coincide con la quantità di moto verticale allo stacco. |
| Altezza | \( V_{TO,y} \; g\) | \(h=v^2_{TO,y} (2g)\) | Dopo lo stacco il contatto con il suolo è terminato; il moto verticale è governato dalla gravità. |
| Velocità angolare | \( \Delta \theta \; \Delta t_{tot}\) | | \( \omega_{avg} |= | \Delta \theta | / \ \Delta t_{tot}\) | Qui non si descrive la traslazione del centro di massa, ma la rotazione media di un segmento. |
3.2 Convenzione vettoriale e componenti
Poniamo l’asse \(y\) positivo verso l’alto. La forza di reazione al suolo durante la spinta è diretta verso l’alto, quindi la sua componente verticale è positiva:
Il peso è invece diretto verso il basso:
Il modulo del peso è:
Questa distinzione è necessaria perché un vettore e una sua componente non sono la stessa cosa. Quando scriviamo \( \vec{P}\) parliamo della forza vettoriale. Inoltre, quando scriviamo \(P_y\), parliamo solo della componente verticale. Quando scriviamo \( | \overrightarrow{P} | \) parliamo del modulo.
3.3 Blocco 1 – Peso corporeo
Il peso non è un dato opzionale. Anche se la pedana registra una forza verso l’alto, una parte di quella forza serve solo a compensare la gravità. Per capire quanta spinta produce accelerazione verso l’alto, bisogna sottrarre il peso.
La scelta del modello è:
3.4 Blocco 2 – Forza netta e impulso netto
La pedana misura una forza esterna verticale, cioè la reazione del suolo. Il centro di massa accelera però in base alla forza risultante, non in base alla sola forza di reazione al suolo.
La componente verticale media della forza netta è:
Poiché:
Si ottiene:
L’impulso netto verticale è:
Questa è la scelta più importante dell’esercizio. Se si usa direttamente \(F_{GRF,y}\) si calcola l’impulso totale esercitato dal suolo, non l’impulso netto che cambia la velocità verticale del centro di massa.
3.5 Blocco 3 Velocità verticale di stacco
L’impulso netto modifica la quantità di moto verticale. Se l’atleta parte da fermo, la velocità verticale iniziale del centro di massa è nulla:
Da cui:
Qui \(V_{TO,y}\) è una componente verticale della velocità, non il modulo della velocità tridimensionale del corpo.
3.6 Blocco 4 – Altezza del salto
Dopo lo stacco, nel modello ideale, il centro di massa sale finché la velocità verticale diventa zero. In questa fase non serve più la forza di spinta, perché il contatto con il suolo è terminato. Serve la cinematica verticale:
Quindi:
Blocco 5 – Velocità angolare media
Per il segmento gamba-piede non stiamo stimando una traslazione, ma una rotazione. La grandezza corretta è la velocità angolare media.
Nel piano sagittale, la direzione del vettore \( \overrightarrow{ \omega }_{avg}\) dipende dalla convenzione di segno. In questo esercizio chiediamo solo il modulo:
| \( \overrightarrow{ \omega}_{avg} |= \frac{ | \Delta \theta |}{ \Delta t_{tot}}\)
Qui la scelta cruciale è convertire l’angolo da gradi a radianti, perché l’unità standard della velocità angolare è rad/s.
| Idea chiave |
| La catena logica è più importante dei singoli numeri: forza misurata, peso, forza netta, impulso netto, velocità verticale di stacco e altezza non sono grandezze intercambiabili. |
4 Soluzione svolta passo per passo
4.1 Calcolo del peso corporeo
Il peso corporeo è la forza con cui la gravità agisce sulla massa dell’atleta. Serve perché la forza misurata dalla pedana non produce tutta accelerazione verso l’alto: una parte bilancia semplicemente il peso.
La forza peso è:
il modulo è:
Sostituiamo i dati:
Poiché il peso è diretto verso il basso:
Quindi:
4.1.1 Interpretazione
Il valore rappresenta la soglia meccanica da compensare. Se la componente verticale della GRF fosse uguale al peso, il centro di massa non accelererebbe verso l’alto. Per saltare, la forza media deve essere maggiore del peso.
4.2 Calcolo della forza netta e dell’impulso netto
L acomponente verticale media della forza di reazione al suolo è:
Questa forza è verso l’alto. La componente verticale del peso è invece negativa:
La componente verticale della forza netta è:
Sostituiamo:
Ora calcoliamo l’impulso netto verticale:
Quindi:
4.2.1 Perché questa scelta corretta
L’impulso è l’area sotto una curva forza-tempo. Tuttavia, per stimare la velocità verticale del centro di massa non basta integrare la forza totale registrata dal suolo. Bisogna integrare la forza netta, perché il peso agisce per tutto il tempo in direzione opposta.
In forma concettuale:
Nel nostro esercizio usiamo una forza media, quindi:
4.3 Calcolo della velocità verticale di stacco
L’impulso netto modifica la quantità di moto verticale del centro di massa. Se l’atleta parte da fermo la quantità di moto verticale iniziale è nulla:
Isoliamo la componente verticale della velocità di stacco:
Sostituiamo:
Quindi:
4.3.1 Perché non usiamo direttamente l’accelerazione media
Si potrebbe anche calcolare prima l’accelerazione media:
Poi usare:
Nel caso di forza media costante si ottiene lo stesso risultato. In biomeccanica reale, però, la forza cambia nel tempo. Per questo il linguaggio dell’impulso è più naturale: descrive l’effetto complessivo della curva forza-tempo anche quando la forza non è costante.
4.4 Calcolo dell’altezza teorica del salto
Al punto più alto:
La relazioen cinematica è:
Ponendo \(V_y=0\)
Da cui:
Sostituiamo:
Quindi:
4.4.1 Interpretazione Biomeccanica
L’altezza stimata è l’altezza teorica del centro di massa, non necessariamente l’altezza apparente raggiunta dalla testa o dai piedi. In un salto reale, la tecnica di richiamo degli arti, la posizione del tronco e la modalità di misura possono produrre valori visivi diversi.
4.5 Calcolo del modulo della velocità angolare media
La rotazione osservata è:
Prima convertiamo in radianti:
Il modulo della velocità angolare media è:
Sostituiamo:
In gradi al secondo
Quindi:
4.5.1 Perché questa parte non usa l’impulso
Qui non stiamo calcolando la velocità verticale del centro di massa. Stiamo descrivendo la rapidità con cui un segmento corporeo cambia orientamento. Per questo la grandezza naturale non \( \vec{v} \), ma \( \vec{ \omega}\).
La scelta del modello deriva dalla domanda: se si parla di centro di massa che sale, usiamo una velocità lineare. Se si parla di segmento che cambia angolo, usiamo una velocità angolare.
5 Risultati finali
| Blocco | Risultato | Interpretazione |
| Peso corporeo | \( | \overrightarrow{p} | \approx 706 N \) | Forza gravitazionale da compensare. |
| Forza netta verticale | \( F_{net,y} \approx 1214 N\) | Parte della forza che accelera verso l’alto. |
| Impulso netto verticale | \( j_{net,y} \approx 146 N s\) | Spinta utile integrata nel tempo. |
| Velocità di stacco | \(v_{TO,y} \approx 2,02 m \; / s\) | Componente verticale iniziale del centro di massa. |
| Altezza teorica | \(h \approx 0.208\) | Altezza ideale del centro di massa. |
| Velocità angolare media | \( | \vec{ \omega}_{avg} | \approx 3.67 \; rad / s\) | Rapidità media della rotazione segmentale. |
6 Verifica dimensionale
La verifica delle unità serve a controllare se il modello è coerente prima ancora di discutere la plausibilità biomeccanica.
Per il peso:
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