Di seguito verranno risolti due esercizi sulle parabole, con spiegazione di ogni passaggio.
Esercizio 1
Sapendo che una parabola ha vertice in (2,0) e passa per il punto (0,1) determina l’equazione della parabola.
Esercizi sulle parabole
Soluzione a esercizio 1
Deve essere:
\(-\frac{b}{2a}=2 \rightarrow coordinata \; x \; del \; vertice\)
\(-\frac{\Delta}{4a}=0 \rightarrow coordinata \; y \; del \; vertice\)
\(1=a(0)^2+b(0)+c \rightarrow passaggio \; per \; punto\; (0,1)\)
Da cui si capisce subito che \(c=1\).
Considerando che:
\(\left\{\begin{matrix} b=-4a \\b^2-4a=0 \end{matrix}\right.\)
Si ha:
\(\left\{\begin{matrix} b=-4a \\16a^2-4a=0 \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} b=-4a \\a(4a-1)=0 \end{matrix}\right.\)
Siccome per essere una parabola \(a\) non può essere zero sarà:
\(\left\{\begin{matrix} b=-1 \\a=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\)
E quindi:
\(y=\frac{1}{4}x^2-x+1\)

Esercizio 2
Sapendo che una parabola passa per i punti (0,0), (3,3) e (4,0) determina l’equazione della parabola.
Soluzione
Deve essere:
\(0=a(0)^2+b(0)+c \rightarrow passaggio \; per \;punto \; (0;0)\)
\(3=a(3)^2+b(3)+c \rightarrow \; passaggio \; per \; punto \; (3,3)\)
\(0=a(4)^2+b(4)+c \rightarrow \;passaggio \; per \; punto \; (4,0)\)
Quindi \(c=0\) e:
\(\left\{\begin{matrix} 9a+3b=3\\16a+4b=0 \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} 9a+3b=3\\1b=-4a\end{matrix}\right.\)
Allora:
\(\left\{\begin{matrix} a=-1\\b=4\end{matrix}\right.\)
Quindi:
\(y=-x^2+4x\)

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