Due esercizi sulle parabole - La soluzione per gli studenti

Di seguito verranno risolti due esercizi sulle parabole, con spiegazione di ogni passaggio.

Esercizio 1

Sapendo che una parabola ha vertice in (2,0) e passa per il punto (0,1) determina l’equazione della parabola.

Deve essere:

\(-\frac{b}{2a}=2 \rightarrow coordinata \; x \; del \; vertice\)

\(-\frac{\Delta}{4a}=0 \rightarrow coordinata \; y \; del \; vertice\)

\(1=a(0)^2+b(0)+c \rightarrow passaggio \; per \; punto\; (0,1)\)

Da cui si capisce subito che \(c=1\).

Considerando che:

\(\left\{\begin{matrix} b=-4a \\b^2-4a=0 \end{matrix}\right.\)

Si ha:

\(\left\{\begin{matrix} b=-4a \\16a^2-4a=0 \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} b=-4a \\a(4a-1)=0 \end{matrix}\right.\)

Siccome per essere una parabola \(a\) non può essere zero sarà:

\(\left\{\begin{matrix} b=-1 \\a=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\)

E quindi:

\(y=\frac{1}{4}x^2-x+1\)

Sapendo che una parabola passa per i punti (0,0), (3,3) e (4,0) determina l’equazione della parabola.

Deve essere:

\(0=a(0)^2+b(0)+c \rightarrow passaggio \; per \;punto \; (0;0)\)

\(3=a(3)^2+b(3)+c \rightarrow \; passaggio \; per \; punto \; (3,3)\)

\(0=a(4)^2+b(4)+c \rightarrow \;passaggio \; per \; punto \; (4,0)\)

Quindi \(c=0\) e:

\(\left\{\begin{matrix} 9a+3b=3\\16a+4b=0 \end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} 9a+3b=3\\1b=-4a\end{matrix}\right.\)

Allora:

\(\left\{\begin{matrix} a=-1\\b=4\end{matrix}\right.\)

Quindi:

\(y=-x^2+4x\)