Testo
Risolvere il seguente integrale:
Con:
\(\Omega ={(x,y) \in \mathbb{R}^2: x+y\leq 1,y\geq 0,x\geq }0\)
Soluzione
Definizione del dominio
L’insieme \( \Omega \) rappresenta la regione nel primo quadrante del piano cartesiano delimitata dall’asse \(x\), e dall’asse \(y\) e dalla retta \(x+y = 1 \). Questa regione forma un triangolo rettangolo con i vertici in \((0,0)\) , \((1,0)\) e \((0,1)\). Il dominio \( \Omega\) è rappresentato in figura:
Definizione degli estremi di integrazione
L’integrale del testo può essere quindi riscritto come segue:
Tuttavia, tale integrale non può essere direttamente risolto. Per ovviare il problema dobbiamo fare un cambio di coordinate. Accettiamo un cambio di coordinate polari di questo tipo:
Da cui volendo calcolare lo Jacobiano si ha:
Quindi:
\(dydx= \rho d \rho d \theta\)
Il dominio si trasforma come segue:
\(\Omega_{p o l}={(\rho, \theta) \in \mathbb{R}^2: \rho \cos \theta+\rho \sin \theta \leq 1, \rho \sin \theta \geq 0, \rho \cos \theta \geq 0} \)
Che, posto \( \rho \geq 0\) può essere riscritto:
\(\Omega_{p o l}={(\rho, \theta) \in \mathbb{R}^2: 0 \leq \rho \leq \frac{1}{(\cos \theta+\sin \theta)}, 0 \leq \sin \theta \leq 1,0 \leq \cos \theta \leq 1}\)
Ma seno e coseno sono entrambi maggiori di zero quando:
\( 0 \leq \theta \leq \frac{ \pi}{2}\)
Quindi:
Riformulando l’integrale si ha:
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{1}{(\cos \theta+\sin \theta)}} \frac{\tan (\rho(\cos \theta+\sin \theta))}{\rho(\cos \theta+\sin \theta)} \rho d \rho d \theta\)
Ovvero:
Si ha:
Ricordando inoltre che:
Si ha che:
