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Come trovare la minima distanza di un punto P dalla parabola 

Testo

Stabilisci qual è il punto \(P\) del quarto quadrante, appartenente alla parabola di equazione \(y=x^2-4\), che ha distanza minima dal punto \(Q(0;2)\).

Soluzione

Un generico punto fissato \(P(X_0,Y_0)\) appartenente alla parabola \(y=x^2-4\) si può anche scrivere:

\(P(X_0,X_0^2-4)\)

Quindi per calcolare la distanza tra i due punti si considera:

\(\overline{PQ}=\sqrt{((x_0^2-4)-(-2))^2+(x_0-0)^2}\)

\(\overline{PQ}=\sqrt{(x_0^2-2)^2+(x_0-0)^2}\)

\(\overline{PQ}=\sqrt{x_0^4-4x_0^2+4+x_0^2}\)

\(\overline{PQ}=\sqrt{x_0^4-3x_0^2+4}\)

\(f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}\)

La funzione in questione rappresenta la distanza tra il punto \(P\)e il punto \(Q\). Per fare sì che questa distanza sia minima bisogna trovare i valori di \(x\) in cui la derivata è nulla e, per tali valori \(x\), calcolare il valore della funzione \(f(x)\). Il valore minimo di tutti i valori calcolati sarà il valore di minimo assoluto, a patto che sia minore dei valori agli estremi dell’intervallo di definizione. Poiché la funzione \(f(x)\) è definita per tutti i numeri reali, è sempre positiva e per \(x\) che tende all’infinito va all’infinito, allora i valori di minimo assoluto hanno sicuramente derivata prima nulla. Studiamo dunque la derivata prima: 

\( f'(x)=D[(x^4-3x^2+4)^{\frac{1}{2}}] \)

\(f'(x)=\frac{1}{2}(x^4-3x^2+4)^{\frac{1}{2}-1}(4x^3-6x)\)

\(f'(x)=\frac{(4x^3-6x)}{\sqrt[2]{(x^4-x^2+4)}}\)

Chart, diagram

Description automatically generated

Figura 1 In viola \(f(x)\) in verde la parabola di equazione \(y=x^2-4\)

Volendo trovare per quali valori di \(x\) la derivata è uguale a zero si impone:

\(\frac{(4x^3-6x)}{\sqrt[2]{(x^4-x^2+4)}}=0\)

Che è vero quando il numeratore è nullo, cioè:

\((4x^3-6x)=0\)

\(2x(2x^2-3)=0\)

Quindi:

\(x_1=0;x_2 = \sqrt{\frac{3}{2}};x_3=-\sqrt{\frac{3}{2}}\)

Studiamo ora quanto vale \(f(x)\) per tali valori di x:

\(f(x_1)=\sqrt{0^4-3*0^2+4}=2\)

\(f(x_2)=\sqrt{(\sqrt{\frac{3}{2}})^4-3(\sqrt{\frac{3}{2}}})^2+4=\)

\(\sqrt{\frac{9}{4}-3\frac{3}{2}+4}=\sqrt{\frac{9-18+16}{4}}=\sqrt{\frac{7}{4}}\)

E si può osservare anche che:

\(f(x_3)=f(x_2)\)

Perciò i valori di \(X\) ammessi come minimo della funzione \(f(x)\) sono:

\(x_2=\sqrt{\frac{3}{2}}\)

A questo punto per trovare il punto \(P\) si sostituisce:

\(P=(x_0,x_0^2-4)= P(\sqrt{\frac{3}{2}},\frac{3}{2}-4)=\)

\(=P(\sqrt{\frac{3}{2}},-\frac{5}{2})\)

Figura 2 (presente nel file scaricabile gratuitamente)Aggiunta, nella rappresentazione del problema, dei punti \(Q\) e \(P\). Si nota come l’ordinata del punto \(P\) e del minimo della funzione \(f(x)\) coincidono.