Come trovare asintoti verticali e orizzontali di una funzione

Cosa sono gli asintoti? Si dice asintoto quella retta \(r\) a cui tende la funzione \(f(x)\).

Esistono tre tipi di asintoti:

• Verticali,
• Orizzontali,
• Obliqui.

Di seguito trattiamo asintoti verticali e orizzontali.

Una curva che possiede sia asintoto verticale che asintoto obliquo è per esempio l’iperbole del tipo:

\(f(x)\frac{k}{(x-x_0)}+q\)

In cui \(k \in \mathbb{R} – {0} \) e \(x_0, q\in \mathbb{R}\).

Un esempio viene riportato in figura seguente con \(k=5, \; x_0=2, \; q=-1\).

Di seguito viene mostrato come calcolare i suoi asintoti verticali e orizzontali.

Calcolo dell’asintoto verticale

Si dice asintoto verticale quella retta \(r\) di equazione \(x=x_0\) a cui la funzione \(f(x)\) tende, sia da sinistra che da destra, quando si avvicina al valore \(x_0\).

Per l’avvicinamento di \(f(x)\) da sinistra \(x \rightarrow x_0^-\) deve essere vero che:

\( \lim_{x \rightarrow x_0^-}{f(x)=\pm \propto}\)

Per l’avvicinamento di \(f(x)\) da destra \(x \rightarrow x_0^+\) deve essere vero che:

\( \lim_{x \rightarrow x_0^+}{f(x)=\pm \propto}\)

Facendo riferimento all’iperbole nella figura precedente di equazione:

\(f(x)=\frac{5}{(x-2)}-1\)

Il limite sinistro è:

\( \lim_{x \rightarrow 2^-}{\frac{5}{(x-2)}-1=\frac{5}{0^-}-1=\frac{5}{0^-}-1=\propto}\)

Il limite destro è:

\( \lim_{x \rightarrow 2^+}{\frac{5}{(x-2)}-1=\frac{5}{0^-}-1=\frac{5}{0^-}-1=\propto}\)

E siccome ricadiamo nel caso in cui sia il limite destro che il limite sinistro danno come risultato un valore infinito, allora la retta \(x=2\) costituisce asintoto verticale per la \(f(x)\).

Calcolo dell’asintoto orizzontale

Si dice asintoto orizzontale quella retta \(r\) di equazione \(y=y_0\) a cui la funzione \(f(x)\) tende, sia per \(x\) che tende all’infinito positivamente che per \(x\) che tende all’infinito negativamente.

Per valori di ascissa infinitamente grandi e positivi deve essere vero che la \(f(x)\) approssima \(y=y_0 \)o superiormente o inferiormente:

\(\lim_{x \rightarrow + \propto}{f(x)=y_0^{\pm}}\)

Per valori di ascissa infinitamente piccoli e negativi deve essere vero che la \(f(x)\) approssima \(y=y_0\) o superiormente o inferiormente:

\(\lim_{x \rightarrow – \propto}{f(x)=y_0^{\pm}}\)

Facendo riferimento all’iperbole nella figura precedente di equazione:

\(f(x)=\frac{5}{(x-2)}-1\)

Il valore del limite per valori di ascissa infinitamente grandi e positivi è:

\( \lim_{x \rightarrow + \propto}{\frac{5}{(x-2)}-1=\frac{5}{+ \propto}} -1=0^+-1=-1^+\)

Quindi per valori di ascissa infinitamente grandi e positivi la funzione si avvicina a 1 superiormente.

Il valore del limite per valori di ascissa infinitamente piccoli e negativi è:

\( \lim_{x \rightarrow – \propto}{\frac{5}{(x-2)}-1=\frac{5}{+ \propto}}-1=0^+-1=-1^+\)

Quindi per valori di ascissa infinitamente piccoli e negativi la funzione si avvicina a 1 inferiormente.

Esercizio di esempio per ricavare gli asintoti

Trovare asintoti verticali e orizzontali della seguente funzione:

\(f(x)=ln (\frac{x+1}{x+3})\)

Soluzione

Per trovare gli asintoti verticali è necessario definire il dominio della funzione per scoprire quei valori di \(x\) che sono di frontiera per il dominio.

Troviamo il dominio :

\(\left\{\begin{matrix} \frac{x+1}{s+3}>0 \; \; condizione \; imposta \; dal \; logaritmo \\x+3 \cancel{=}0 \; \; condizione \;imposta \;dal \;denominatore \end{matrix}\right.\)

Per la condizione imposta dal denominatore si ha:

\(x \cancel{=}-3\)

Per la condizione imposta dal logaritmo si deve studiare il rapporto.

Il numeratore \(N(x)=x+1\) è positivo per \(x>-1\).

Il numeratore \(D(x)=x+3\) è positivo per \(x>-3\).

Un rapporto è positivo quando entrambi (numeratore e denominatore) hanno lo stesso segno.

Si traccia quindi il diagramma seguente.

Da cui si può concludere che l’argomento del logaritmo è maggiore di zero quando:

\(x <-3 \vee x > -1\)

Perché il denominatore non influisce sull’effetto delle selezioni degli intervalli per il solo merito del logaritmo.

Sappiamo quindi che la funzione non esiste tra -3 e -1 e può essere valutata quindi agli estremi di questi intervalli per stabilire se esistono asintoti verticali.

Il limite della funzione che tende a -3 da sinistra è dato da:

\(\lim_{x\rightarrow -3^3}{ln(\frac{x+1}{x+3})=ln(\frac{-2}{0^-})=ln(+ \propto )}= + \propto\)

Perciò \(x=-3\) è asintoto verticale sinistro per \(f(x)\)

\(\lim_{x\rightarrow -1^+}{ln(\frac{x+1}{x+3})=ln(\frac{0^+}{2})=ln(0^+ )}= – \propto\)

Perciò \(x=-1\) è asintoto verticale destro per \(f(x)\)

La \(f(x)\) ha dunque due asintoti verticali. Andiamo ora a verificare la presenza di asintoti orizzontali.

Il valore del limite per valori di ascissa infinitamente grandi e positivi è:

\(\lim_{x \rightarrow + \propto}{ln(\frac{x-1}{x+3})=ln(1^-)}=0^-\)

Quindi per valori di ascissa infinitamente grandi e positivi la funzione si avvicina a 0 inferiormente.

Il valore del limite per valori di ascissa infinitamente piccoli e negativi è:

\(\lim_{x \rightarrow – \propto}{ln(\frac{x-1}{x+3})=ln(1^+)}=0^+\)

Quindi per valori di ascissa infinitamente piccoli e negativi la funzione si avvicina a 0 superiormente. Possiamo concludere dunque che \(y=0\) costituisce asintoto orizzontale per la \(f(x)\) e che \(x=-1\) e \(x=-3\) costituiscono asintoti verticali rispettivamente destro e sinistro.

Di seguito viene mostrata la curva di interesse