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Come trovare la funzione definita a tratti del valore assoluto di una parabola

Supponiamo di avere la seguente parabola:

Difficoltà: Scuola Superiore

Materia: Matematica

\(f(x)=x^2+5x-14\)

Come andrebbe scritta la corrispondente funzione definita a tratti?

Soluzione

Si vuole scrivere la funzione come segue:

Bisogna ora trovare per quali valori di \(x\) la funzione è positiva e per quali valori di \(x\) la funzione è negativa.

Per prima cosa cerchiamo di capire quali sono le radici del polinomio che definisce la parabola.

Quindi poniamo:

\(\left\{\begin{matrix}y=x^2+5x-14\\ y=0 \end{matrix}\right.\) \(\rightarrow\)

\(\rightarrow\) \( x^2+5x-14=0\)

In questo modo stiamo andando a cercare le intersezioni della parabola..

con l’asse \(x\) e cioè le cosiddette radici del polinomio.

Allora si può usare la formula risolutiva per trovare le radici del polinomio, come di seguito:

\(x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=0\)

\(= \frac{-(5) \pm \sqrt{(5)^2-4(1)(-14)}}{2(1)}\)

\(x_1=-7\)

\(x_2=2\)

La parabola è negativa per i seguenti valori di \(x\):

\(-7< x <2\)

Infatti, avendo concavità verso l’alto \((a>0)\) i valori sotto l’asse \(x\) sono proprio quelli compresi tra i valori di radice.

Allora:

Rappresentazione grafica della parabola definita a tratti appena trovata
Figura 1 Rappresentazione della funzione definita a tratti appena trovata

Inoltre, visto l’argomento, ti consigliamo la visione di alcuni esercizi e teoria presenti nel nostro sito:

Come trovare il vertice di una parabola ruotata APPROFONDISCI

Come trovare la minima distanza di un punto p dalla parabola APPROFONDISCI

Per quanto riguarda gli esercizi inerenti all’argomento della parabola ti consigliamo i seguenti:

Come risolvere esercizio 3 pagina 243 prova A libro (3°Matematica verde Seconda Edizione) APPROFONDISCI

Come risolvere esercizio 6 pagina 243 prova A libro (3° Matematica verde Seconda Edizione) APPROFONDISCI