Come trovare l’equazione della parabola dato il vertice e un punto

Testo

Come troviamo l’equazione della parabola avente il vertice nel punto di coordinate \(V(1;0)\) e passante per il punto \(P(2;1)\)?

Soluzione

Per prima cosa si osserva che, dovendo essere la parabola ad asse parallelo a quello delle ordinate, la sua equazione deve essere nella forma:

\(y=ax^2+bx+c\)

Ora si osserva che le coordinate generali del vertice della parabola sono:

\(V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})\)

dai dati sappiamo che il vertice ha coordinate \(V(1;0)\), e dunque devono essere rispettate le seguenti condizioni:

\(\left\{\begin{matrix}-\frac{b}{2a}=1\\-\frac{\Delta}{4a}=0\end{matrix}\right. \)

Inoltre, essendo che la parabola passa per il punto \(P(2:1)\) , l’equazione della parabola deve essere soddisfatta quando attribuiamo a x e a y valori del punto \(P\). Quindi:

\(1=a(2)^2+b(2)+c\)

Che rappresenta la terza condizione del precedente sistema. Avendo 3 condizioni riusciamo a trovare i tre coefficienti. Si deve dunque risolvere il seguente sistema per trovare i coefficienti della parabola:

\(\left\{\begin{matrix}-\frac{b}{2a}=1\\-\frac{\Delta}{4a}=0\\1=a(2)^2+b(2)+c \rightarrow \end{matrix}\right. \)

\(\left\{\begin{matrix}b=-2a\\ \Delta=0\\4a+2b+c-1=0 \rightarrow \end{matrix}\right. \)

\(\left\{\begin{matrix}b=-2a\\ (-2a)^2-4ac=0\\4a+2(-2a)+c-1=0 \rightarrow \end{matrix}\right. \)

\(\left\{\begin{matrix}b=-2a\\ a^2-ac=0\\ \cancel{4a-4a}+c-1=0 \rightarrow \end{matrix}\right. \)

\(\left\{\begin{matrix}b=-2a\\ a-(a-1)=0\\ c=1 \rightarrow \end{matrix}\right. \)

Osserviamo..

Che i due possibili valori di ūĚĎé sono zero o uno, ma accettiamo solo il valore 1 perch√© altrimenti non sarebbe una parabola.


Quindi:

\(\left\{\begin{matrix}b=-2\\ a=1\\ c=1 \end{matrix}\right. \)

E l’equazione della parabola sarebbe:

\(y=x^2-2x+1\)

Rappresentata la parabola nella figura seguente :

Rappresentazione grafica della parabola
Figura 1 Rappresentazione grafica della parabola \( y=x^2-2x+1 \)

e se volessi trovare il vertice di una parabola ruotata?

Come trovare il vertice di una parabola ruotata

Altri esempi per quanto concerne l’argomento parabola..

Come trovare la minima distanza di un punto P dalla parabola

Translate ¬Ľ