Come trovare l’equazione della parabola dato il vertice e un punto

Testo

Come troviamo l’equazione della parabola avente il vertice nel punto di coordinate \(V(1;0)\) e passante per il punto \(P(2;1)\)?

Soluzione

Per prima cosa si osserva che, dovendo essere la parabola ad asse parallelo a quello delle ordinate, la sua equazione deve essere nella forma:

\(y=ax^2+bx+c\)

Ora si osserva che le coordinate generali del vertice della parabola sono:

\(V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})\)

dai dati sappiamo che il vertice ha coordinate \(V(1;0)\), e dunque devono essere rispettate le seguenti condizioni:

\(\left\{\begin{matrix}-\frac{b}{2a}=1\\-\frac{\Delta}{4a}=0\end{matrix}\right. \)

Inoltre, essendo che la parabola passa per il punto \(P(2:1)\) , l’equazione della parabola deve essere soddisfatta quando attribuiamo a x e a y valori del punto \(P\). Quindi:

\(1=a(2)^2+b(2)+c\)

Che rappresenta la terza condizione del precedente sistema. Avendo 3 condizioni riusciamo a trovare i tre coefficienti. Si deve dunque risolvere il seguente sistema per trovare i coefficienti della parabola:

\(\left\{\begin{matrix}-\frac{b}{2a}=1\\-\frac{\Delta}{4a}=0\\1=a(2)^2+b(2)+c \rightarrow \end{matrix}\right. \)

\(\left\{\begin{matrix}b=-2a\\ \Delta=0\\4a+2b+c-1=0 \rightarrow \end{matrix}\right. \)

\(\left\{\begin{matrix}b=-2a\\ (-2a)^2-4ac=0\\4a+2(-2a)+c-1=0 \rightarrow \end{matrix}\right. \)

\(\left\{\begin{matrix}b=-2a\\ a^2-ac=0\\ \cancel{4a-4a}+c-1=0 \rightarrow \end{matrix}\right. \)

\(\left\{\begin{matrix}b=-2a\\ a-(a-1)=0\\ c=1 \rightarrow \end{matrix}\right. \)

Osserviamo..

Che i due possibili valori di 𝑎 sono zero o uno, ma accettiamo solo il valore 1 perché altrimenti non sarebbe una parabola.

Quindi:

\(\left\{\begin{matrix}b=-2\\ a=1\\ c=1 \end{matrix}\right. \)

E l’equazione della parabola sarebbe:

\(y=x^2-2x+1\)

Rappresentata la parabola nella figura seguente :

e se volessi trovare il vertice di una parabola ruotata?

Come trovare il vertice di una parabola ruotata

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