Come trovare il vertice di una parabola ruotata 

Testo

Si determini il vertice della seguente parabola: 

\(x^2-4xy+4y^2-28x-44y+96=0\)

Soluzione

La formula del testo si presenta nella seguente forma generica

\(Ax^2+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0\)

Esiterà un sistema di riferimento per cui è vero che:

\((x=X cos\alpha – Y sin\alpha)\)

\((y=X sin\alpha-Y cos\alpha)\)

In cui \alpha è la rotazione tra i due sistemi di riferimento \(XY\) e \(xy\).

Volendo riscrivere \(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\) si avrebbe:

Che riorganizzata potrà essere certamente scritta nella forma:

In cui i nuovi coefficienti dipendono dal nuovo sistema di riferimento.

Se il sistema di riferimento fosse rintracciato appropriatamente allora il termine \(B’XY\) non ci sarebbe perche \(B’\) sarebbe pari a zero.

Sviluppando solo per i termini misti si ottiene:

Quindi:

\(B’= 2(C-A) sin(2\alpha)+Bcos(2\alpha)\)

Siccome si richiede che:

\(B’=0\)

Si ha:

\( (A-C)sin(2\alpha)=B cos(2\alpha) \rightarrow\)

\(\rightarrow cot(2\alpha)=\frac{A-C}{B}\)

Nel nostro caso:

\(cot(2\alpha)=\frac{1-4}{-4}=\frac{3}{4}\)

Ricordando che:

\(cos\frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cos\alpha}{2}}\)

\(sin\frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cos\alpha}{2}}\)

La scelta dei segni non è rilevante perché, considerando le 4 disposizioni possibili standard della parabola in un piano cartesiano, ci si riconduce comunque a una forma della parabola con direttrice parallela o all’asse delle ascisse o all’asse delle ordinate.

Per comodità si prenda dunque come scelta a segni positivi, si può dire che:

\(cos\theta=\sqrt{\frac{1+cos2\theta}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{3}{5}}{2}}=\)

\(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{80}}{10}=\frac{4\sqrt{5}}{10}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

\(sin \theta=\sqrt{\frac{1-cos2 \theta}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{2}}=\frac{\sqrt{20}}{10}=\frac{2\sqrt{5}}{10}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)

quindi:

\(x=X cos \alpha – Y sin \alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}X-\frac{\sqrt{5}}{5}Y\)

\(y=X sin \alpha +Y cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}X+\frac{2\sqrt{5}}{5}Y\)

\(5Y^2-20\sqrt{5}X-12\sqrt{5}Y+96=0\)

\(5Y^2-12\sqrt{5}Y+96=20\sqrt{5}X\)

\(100X=5\sqrt{5}Y^2-60Y+96\sqrt{5}\)

\(X=\frac{\sqrt{5}}{20}Y^2-\frac{3}{5}Y+\frac{24}{25}\)

I calcoli hanno portato a ottenere un sistema di riferimento in cui la parabola risulta avere direttrice parallela all’asse delle ordinate, come rappresentato nella seguente figura per la parabola di colore verde.

In figura, si può vedere la rappresentazione delle due parabole argomentate nel testo. La parabola blu è la parabola che ha equazione nel piano \(xy\) mentre quella verde ha equazione nel piano XY. Le due parabole sono ruotate perché i due sistemi di riferimento, sovrapposti, conferiscono questa visuale.

Sovrapponendo i sistemi di riferimento come nella figura, si nota che le parabole condividono il vertice, che è l’unico punto che rimane uguale a se stesso a seguito della rotazione.

Il vertice della parabola verde..

con equazione \(X=\frac{\sqrt{5}}{20}Y^2-\frac{3}{5}Y+\frac{24}{25}\) è dato dalla formula della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse, che è:

\(V=(-\frac{\Delta}{4a’}-{b}{2a}\)

Perciò in questo caso:

\(\left\{\begin{matrix} Xv=-\frac{(-\frac{3}{5}-4\frac{\sqrt{5}}{20}\frac{24}{25})}{4(\frac{\sqrt{5}}{20})}=\frac{3}{25}(8-3\sqrt{5})\\ Yv=-\frac{-\frac{3}{5}}{(2\frac{\sqrt{5}}{20})}=\frac{6}{\sqrt{5}}\end{matrix}\right.\)

Per i ragionamenti fatti prima risulta che:

\(\left\{\begin{matrix} X_v=x_v \\ Y_v=y_v \end{matrix}\right.\)

Perciò il vertice della parabola \(x^2-4xy+4y^2-28x-44y+96=0\) è uguale a quello della corrispondente ruotata \(X=\frac{\sqrt{5}}{20}Y^2-\frac{3}{5}Y+\frac{24}{25}\) il quale è dunque:

\(V( 3/25 (8-3\sqrt{5});6/\sqrt{5})\)

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