Come risolvere le equazioni esponenziali sfruttando la definizione e le proprietà dei logaritmi

Esempio 1

Risolvi la seguente equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi:

Soluzione

Si ha che, esplicitando:

\(1,3^x=-2\)

L’equazione ci sta chiedendo per quali valori di \(x\) è possibile ottenere una potenza di 1,3 che dia un risultato negativo e pari a due. La realtà è che non è possibile trovare un valore di \(x\) che soddisfa la richiesta, da cui segue che non esiste un esponente da dare a 1,3 per ottenere un risultato negativo.

Questo vale sicuramente per tutte le potenze a base positiva. Puoi scervellarti quanto vuoi ma non troverai mai un esponente che renda la potenza minore di zero, anche se scegliessi esponente negativo.

Infatti con esponente negativo quello che succederebbe è che la potenza darebbe risultati frazionari, nemmeno mai nulli, tantomeno negativi.

Esempio 2

Risolvi la seguente equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi:

E converti il risultato in base 10.

Soluzione

Come si può notare non è direttamente risolvibile con la definzione dei logaritmi. Iniziamo quindi a dividere tutto per \(3\), quindi:

\(11^x=\frac{2}{3}\)

Considerando ora la definizione di logaritmo si ottiene:

\(x=\log_{11}{\frac{2}{3}}\)

Ricordiamo che il problema richiede di convertire tutto in base 10. Convertendo quindi tutto in base 10 si ottiene:

\(x=\frac{\log_{10}{(\frac{2}{3})}}{\log_{10}{(11)}}=\frac{\log{(\frac{2}{3})}}{\log{(11)}}\)

Ricordando la proprietà dei logaritmi (“logaritmo del rapporto”) secondo cui:

\(\log_{a}{(\frac{b}{c})}=\log_{a}{(b)}-log_{a}{(c)}\)

Infatti il logartimo del rapporto di due numeri è pari alla differenza di due logaritmi che hanno per base stessa base e per argomenti il numeratore e il denominatore separatamente.

Applicando dunque la regola si ha:

\(x=\frac{\log{(\frac{2}{3})}}{\log{(11)}}=\)

\(\frac{\log{(2)}-\log{(3)}}{\log{(11)}}=\)

In definitiva:

\(x=\frac{\log{2}-\log{3}}{\log{11}}\)

Esempio 3

Risolvi al seguente equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi:

Soluzione

Come si può notare non è direttamente risolvibile con la definzione dei logaritmi. Dividendo quindi a destra e sinistra per \(7^x\):

\(\frac{4 \cdot 5^x}{7^x}=\frac{3\cdot 7^x}{7^x}\)

\(\frac{4 \cdot 5^x}{7^x}=3\)

Dividendo ora a destra e a sinistra per \(4\):

\(\frac{1}{4}\cdot\frac{4\cdot 5^x}{7^x}=3 \cdot \frac{1}{4}\)

\( \frac{5^x}{7^x}=\frac{3}{4}\)

Da cui si può scrivere:

\( (\frac{5}{7})^x=\frac{3}{4}\)

Ora ci troviamo in un punto difficile, non possiamo chiudere trovando la soluzione, perchè la base della potenza è diversa dal termine a destra dell’equazione. A questo punto bisogna ricordarsi che con i logaritmi è possibile il cambio di base.

Considerando le proprietà del cambio di base, che viene riportato di seguito:

\(\log_{a}{(b)}=\frac{\log_{c}{(b)}}{\log_{c}{(a)}}\)

Si ha che posso ottenere un rapporto di logaritmi con base differente dall’originaria, a patto che la base stia come argomento del logaritmo a denominatore e l’argomento diventi l’argomento del logaritmo a numeratore con base differente.

Si può dunque ottenere:

\(x=\log_{\frac{5}{7}}\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{\log_{10}\left(\frac{3}{4}\right)}{\log _{10}\left(\frac{5}{7}\right)}\)

Ricordando la proprietà dei logaritmi (“logaritmo del rapporto“) secondo cui:

\(\log_{a}{( \frac{b}{c})}=\log_{a}{(b)}-\log_{a}{(c)}\)

Infatti ricordiamo ancora una volta che il logartimo del rapporto di due numeri è pari alla differenza di due logaritmi che hanno per base stessa base e per argomenti il numeratore e il denominatore separatamente.

Quindi:

\(x=\frac{\log_{10}\left(\frac{3}{4}\right)}{\log_{10}\left(\frac{5}{7}\right)}=\frac{\log 3-\log 4}{\log 5-\log 7}\)

In definitiva:

\(x=\frac{\log{3}-\log{4}}{\log{5}-\log{7}}\)