Trova le rette passanti per il triangolo e la sua altezza

Testo

Scrivi le equazioni delle rette che giacciono sui lati di un triangolo\(ABC\) e il valore dell’altezza \(AH\). Supponi che i vertici del triangolo siano pari a \(A(1;2)\) e \(B(4;4)\); \(C(5;1)\).

Prerequisiti

Per risolvere questo esercizio dovrai conoscere:

La retta;
Il piano cartesiano;
Come gestire le coordinate;
Il coefficiente angolare;
Il coefficiente angolare della retta perpendicolare;

Soluzione

Per risolvere il problema devono essere trovate tre rette che passano per coppie di punti scelte dai vertici del triangolo.

La formula di una retta che passa per due punti è la seguente:

\(r_{12}:\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

In cui \((x_1,y_1)\) e \((x_2;y_2)\) sono i due punti per cui passa la retta \(r_{12}\).

Per cui si può facilmente intuire come:

\(r_{AB}:\frac{y-y_A}{x-x_A}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\)

Quindi:

\(\frac{y-2}{x-1}=\frac{4-2}{4-1}\)

Da cui svolgendo i conti si ottiene:

\(y=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}\)

La retta appena calcolata viene rappresentata in verde nella figura seguente.

Per le altre richieste si ha:

\(r_{AC}:\frac{y-y_A}{x-x_A}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}\)

\(\frac{y-2}{x-1}=\frac{1-2}{5-1}\)

\(y=-\frac{1}{4}(x-1)+2\)

\(y=-\frac{1}{4}x+\frac{9}{4}\)

\(r_{BC}:\frac{y-y_B}{x-x_B}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}\)

Quindi:

\(\frac{y-4}{x-4}=\frac{1-4}{5-4}\)

\(y=-3(x-4)+4\)\)

\( \rightarrow y=-3x+16\)

Per trovare la retta proposta dal problema, rette rappresentate in figura piano cartesiano

Per trovare la retta \(r_{AH}\) che passa per \(AH\) si considera che essa è perpendicolare a \(r_BC\) e passante per \(A\) allora si deve avere che i due coefficienti angolari sono uno l’antireciproco dell’altro, perciò:

\(r_{AH}:y-y_A=\frac{1}{3} (x-x_A\)