Testo
La retta di equazione \(y=\frac{1}{2}x+1\) passa per il punto \(P(4;3)\) e interseca l’asse delle ascisse nel punto \(B\). Sia \(A(1;4)\) un vertice del parallelogramma \(ABCD\) e sia \(P\) il punto di intersezione tra le diagonali del parallelogramma.
Determina:
- le coordinate di tutti i vertici del parallelogramma;
- il perimetro del parallelogramma;
- l’area del parallelogramma.
Soluzione
il punto B ha coordinate \((-2;0)\) esattamente come rappresentato in figura seguente:
Il punto D della figura in questione sta sulla retta che giace su PB e vale:
\(\overline{PB}=\overline{PD}\)
Siccome il punto D ha sicuramente coordinate date da:
\(D(x;\frac{x}{2}+1)\)
Allora:
\(\sqrt{(4-(-2))^2+(3-0)^2}=\) ;
\(= \sqrt{(4-x)^2+(3-(\frac{x}{2}+1))^2}\)
\(4-(-2))^2+(3-0)^2=\) \((4-x)^2+(3-(\frac{x}{2}+1))^2\)
\(45=(4-x)^2+(2-\frac{x}{2})^2\)
\(45=(4-x)^2+\frac{1}{4}(4-x)^2\)
\(180=5(4-x)^2\)
\(36=(4-x)^2\)
\( \pm 6=4-x\)
\(x= \pm 6+4\)
Di cui la soluzione cercata è:
\(x=10\)
Per cui:
\(D(10;6)\)
Come in figura:
La retta che passa per \(AP\) è data da:
\(r_{AP}:\frac{y-4}{x-1}=\frac{3-4}{4-1}\)
\(y-4=-\frac{1}{3}(x-1)\)
\(y=-\frac{1}{3}x+\frac{13}{3}\)
Il punto C della figura in questione, sta sulla retta che giace su AP e vale:
\(\overline{AP}=\overline{CP}\)
Perciò, siccome il punto C ha sicuramente coordinate date da:
\(C(x;-\frac{1}{3}x+\frac{13}{3})\)
Allora:
\(10=(4-x)^2+(3+\frac{1}{3}x-\frac{13}{3})^2\)
\(10=(4-x)^2+(\frac{1}{3}x-\frac{4}{3})^2\)
\(10=(4-x)^2+\frac{1}{9}(x-4)^2\)
\(10=\frac{10}{9}(4-x)^2\)
\(9=(4-x)^2\)
\(x=4 \pm 3\)
Di cui la soluzione cercata è:
\(x=7\)
Per cui:
\(C(7;2)\)
Il perimetro del parallelogramma sarà poi dato da:
\(P_{par}=2( \overline{AB}+ \overline{AD})\)
Per cui:
\(P_{par}=2(\sqrt{25}+\sqrt{85})\)
\(P_{par}=2(\sqrt{25}+\sqrt{85})=10+2\sqrt{85}\)
La retta che passa per AB è data da:
\(r_{AB}:\frac{y-4}{x-1}=\frac{0-4}{-2-1}\)
\(y-4=\frac{4}{3}(x-1)\)
\(3y-12=4x-4\)
\(4x-3y+8=0\)
Per l’area si considera che la distanza della retta \(r_{AB}\) rispetto al punto \(C\) è data da:
\( \overline{CH}=\frac{|(4)(7)+(-3)(2)+(+8)|}{\sqrt{(4)^2+(-3)^2}}=\frac{30}{\sqrt{25}}=6\)
Per cui l’aera del parallelogramma è data da:
\(A_{par}=\overline{AB}*\overline{CH}=5*6=30\)
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