Sistema lineare risolto con il metodo della sostituzione

In questo esempio viene trattato il caso di un sistema lineare, con singola soluzione, costituito di due equazioni e due incognite.

Testo

Risolvere il seguente sistema lineare:

Soluzione

Se esiste un punto di intersezione tra le due rette dovrà essere vero che, per quel punto \(P(x_0,y_0)\), i valori di \(y\) e di \(x\) per entrambe le rette sono uguali.

Come primo passo cerchiamo di selezionare una variabile a scelta ed esplicitare. Scegliamo come variabile da esplicitare la \(y\) della prima equazione:

\(\left\{\begin{matrix}7x+11y=5\\10x+2y=3\end{matrix}\right. \rightarrow\)

\(\left\{\begin{matrix}11y=5-7x\\10x+2y=3\end{matrix}\right. \rightarrow\)

\(\left\{\begin{matrix}y=\frac{5}{11}-\frac{7}{11}x\\10x+2y=3\end{matrix}\right.\)

Ora procediamo con il sostituire l’espressione associata alla variabile che è stata esplicitata nell’altra equazione al posto della variabile scelta

\(\left\{\begin{matrix}y= {\color{DarkOrange} \frac{5}{11}-\frac{7}{11}x}\\10x+2({\color{DarkOrange} \frac{5}{11}-\frac{7}{11}x})=3\end{matrix}\right. \)

Ora dobbiamo svolgere fino a trovare la variabile di interesse, che nel nostro caso è la \(x\) nella seconda equazione. Infatti, la seconda equazione è ormai diventata una equazione in una variabile e una incognita.

\(\left\{\begin{matrix}y=\frac{5}{11}-\frac{7}{11}x\\10x+\frac{10}{11}-\frac{14}{11}x=3\end{matrix}\right.\)

Moltiplico per 11 la seconda equazione:

\(\left\{\begin{matrix}y=\frac{5}{11}-\frac{7}{11}x\\110x+10-14x=33\end{matrix}\right.\)

Sommo tutti i termini con le \(x\):

\(\left\{\begin{matrix}y=\frac{5}{11}-\frac{7}{11}x\\96x=23\end{matrix}\right.\)

Esplicito la \(x\)

\(\left\{\begin{matrix}y=\frac{5}{11}-\frac{7}{11}x\\{\color{DarkOrange}x=\frac{23}{96}}\end{matrix}\right.\)

Ora dobbiamo scegliere una delle due equazioni di partenza del sistema e sostituire il valore trovato. Nel nostro caso abbiamo trovato il valore della \(x\) dalla seconda equazione. Quindi sostituiamo il valore di \(x\) della seconda equazione nella prima equazione (tanto le \(x\) devono essere uguali):

\(\left\{\begin{matrix}y=\frac{5}{11}-\frac{7}{11}({\color{DarkOrange}\frac{23}{96}})\\x=\frac{23}{96}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}y=\frac{5\cdot 96 }{11 \cdot 96}-\frac{7\cdot 23}{11\cdot 96}\\x=\frac{23}{96}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}y=\frac{5 \cdot 96-7 \cdot 23}{1056}\\x=\frac{23}{96}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}y=\frac{480-161}{1056}\\x=\frac{23}{96}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}y=\frac{319}{1056}\frac{29}{96}\\x=\frac{23}{96}\end{matrix}\right.\)

La soluzione del sistema lineare è quindi: \((\frac{23}{96};\frac{29}{96})\)