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Legge di Ampère applicata in fili disposti a quadrato

Testo

Giovanni dispone 4 fili parallelamente tra loro, in modo che abbiano a due a due una distanza pari a 1cm. Giovanni decide che in tutti i fili deve scorrere una corrente uguale e pari a 1A e che solo uno dei fili avrà corrente inversa rispetto agli altri.

Nella figura seguente è rappresentata una vista della disposizione imposta da Giovanni.

Immagine illustrativa della Legge di Ampère applicata in fili disposti a quadrato

Quale è il modulo, la direzione e il verso della forza totale per unità di lunghezza che agisce sul filo 1 di figura?

Prerequisiti

Per risolvere questo problema è necessario conoscere:

Soluzione

Si ricordi che, per due fili percorsi da corrente, vale la seguente formula, che definisce la forza di attrazione o repulsione di due fili percorsi da corrente:

\( \overrightarrow{ \boldsymbol{F}}= \frac{ \mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l _f \cdot \widehat{ \mathbf{u}}_{r} \)

In cui:

  • \( \overrightarrow{ \boldsymbol{F}} \) è la forza di attrazione tra i due fili percorsi da corrente;
  • \(\frac{ \mu}{2 \pi}\) è una costante, di cui \( \mu \) è la permeabilità magnetica del mezzo nel quale si trovano i fili;
  • \( i_1 \) è la corrente che attraversa il primo filo;
  • \( i_2 \) è la corrente che attraversa il secondo filo;
  • \( d \) è la distanza tra i due fili;
  • \( l _f \) è la lunghezza dei fili;
  • \( \widehat{ \mathbf{u}}_{r} \) è un versore (vettore di modulo uno) che si trova sulla direzione che definisce la distanza tra i due fili.

Nel caso del nostro esercizio..

si ha che le forze per unità di lunghezza sono:

\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{12}}{l _f}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d_{12}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 12}\)

e

\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{13}}{l _f}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{3}}{d_{13}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 13}\)

e

\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{14}}{l _f}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{4}}{d_{14}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 14}\)

Il reale valore della lunghezza dei fili \( l _f \) è, ai fini dei calcoli, irrilevante, in quanto viene richiesta la forza per unità di lunghezza.

La somma vettoriale tra i vettori richiesti è:

\( \vec{\boldsymbol{F}}_{tot}=\vec{\boldsymbol{F}}_{12}+\vec{\boldsymbol{F}}_{13} + \vec{\boldsymbol{F}}_{14}\)

Procedendo come richiesto dal problema si osserva che i contributi dovuti a \( l _f \) si annullano ovunque, perché tutti i membri a sinistra e a destra dell’uguaglianza sono divisi per \( l _f \). Tuttavia, tutti i ragionamenti di seguito valgono per ogni metro di filo percorso da corrente.

Di seguito la rappresentazione dei vettori coinvolti.

Immagine illustrativa della Legge di Ampère applicata in fili disposti a quadrato, seconda immagine dove vengono rappresentati i vettori coinvolti

Per trovare nell’esercizio la risultante si immagini un piano cartesiano centrato sul filo 1. Per le componenti orizzontali si ha:

componenti orizzontali dell'immagine rappresentativa del problema sulla Legge di Ampère

Per le componenti verticali si ha:

componenti verticali dell'immagine rappresentative del problema sulla Legge di Ampère

Siccome \( d_{12}=d_{14}=l \), \( d_{13}= \sqrt{2}l\) e considerando che \( \mu = \mu_{0}=4 \pi \cdot 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m}\) si ha:

formula matematica per risolvere il problema riguardante la Legge di Ampère
formula matematica per risolvere il problema riguardante la Legge di Ampère

\( \left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{tot}\right\|=\sqrt{F_{tot, x}^{2}+F_{tot, y}^{2}} \approx 3.06 \cdot 10^{-5} N \)

Quindi, possiamo dire che, per risolvere l’esercizio, il modulo della forza totale per unità di lunghezza che agisce sul filo 1 è di circa \( 3.06 \cdot 10^{-5} N \)

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