Legge di Ampère applicata in fili disposti a quadrato

Testo

Giovanni dispone 4 fili parallelamente tra loro, in modo che abbiano a due a due una distanza pari a 1cm. Giovanni decide che in tutti i fili deve scorrere una corrente uguale e pari a 1A e che solo uno dei fili avrà corrente inversa rispetto agli altri.

Nella figura seguente è rappresentata una vista della disposizione imposta da Giovanni.

Quale è il modulo, la direzione e il verso della forza totale per unità di lunghezza che agisce sul filo 1 di figura?

Prerequisiti

Per risolvere questo problema è necessario conoscere:

• La formula della forza di attrazione o repulsione di due fili percorsi da corrente
• Le procedure per effettuare la scomposizione dei vettori
• Le procedure per effettuare la somma vettoriale(PARTE 1) (PARTE 2)
• I concetti di modulo, direzione e verso del vettore

Soluzione

Si ricordi che, per due fili percorsi da corrente, vale la seguente formula, che definisce la forza di attrazione o repulsione di due fili percorsi da corrente:

\( \overrightarrow{ \boldsymbol{F}}= \frac{ \mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d} l _f \cdot \widehat{ \mathbf{u}}_{r} \)

In cui:

• \( \overrightarrow{ \boldsymbol{F}} \) è la forza di attrazione tra i due fili percorsi da corrente;
• \(\frac{ \mu}{2 \pi}\) è una costante, di cui \( \mu \) è la permeabilità magnetica del mezzo nel quale si trovano i fili;
• \( i_1 \) è la corrente che attraversa il primo filo;
• \( i_2 \) è la corrente che attraversa il secondo filo;
• \( d \) è la distanza tra i due fili;
• \( l _f \) è la lunghezza dei fili;
• \( \widehat{ \mathbf{u}}_{r} \) è un versore (vettore di modulo uno) che si trova sulla direzione che definisce la distanza tra i due fili.

Nel caso del nostro esercizio..

si ha che le forze per unità di lunghezza sono:

\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{12}}{l _f}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{2}}{d_{12}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 12}\)

e

\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{13}}{l _f}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{3}}{d_{13}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 13}\)

e

\( \frac{\vec{\boldsymbol{F}}_{14}}{l _f}=\frac{\mu}{2 \pi} \frac{i_{1} i_{4}}{d_{14}} \cdot \widehat{\mathbf{u}}_{r, 14}\)

Il reale valore della lunghezza dei fili \( l _f \) è, ai fini dei calcoli, irrilevante, in quanto viene richiesta la forza per unità di lunghezza.

La somma vettoriale tra i vettori richiesti è:

\( \vec{\boldsymbol{F}}_{tot}=\vec{\boldsymbol{F}}_{12}+\vec{\boldsymbol{F}}_{13} + \vec{\boldsymbol{F}}_{14}\)

Procedendo come richiesto dal problema si osserva che i contributi dovuti a \( l _f \) si annullano ovunque, perché tutti i membri a sinistra e a destra dell’uguaglianza sono divisi per \( l _f \). Tuttavia, tutti i ragionamenti di seguito valgono per ogni metro di filo percorso da corrente.

Di seguito la rappresentazione dei vettori coinvolti.

Per trovare nell’esercizio la risultante si immagini un piano cartesiano centrato sul filo 1. Per le componenti orizzontali si ha:

Invece, per le componenti verticali si ha:

Siccome \( d_{12}=d_{14}=l \), \( d_{13}= \sqrt{2}l\) e considerando che \( \mu = \mu_{0}=4 \pi \cdot 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m}\) si ha:

\( \left\|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{tot}\right\|=\sqrt{F_{tot, x}^{2}+F_{tot, y}^{2}} \approx 5.48 \cdot 10^{-3} N \)

Quindi, possiamo dire che, per risolvere l’esercizio sulla legge di Ampère, il modulo della forza totale per unità di lunghezza che agisce sul filo 1 è di circa \( 5.48 \cdot 10^{-3} N \)

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