Come risolvere gli esercizi sull’abbondanza isotopica

Gli isotopi…

Un atomo appartiene a un determinato elemento chimico se e solo se ha il numero di protoni previsto per quel determinato elemento chimico. Se un atomo possiede sei protoni è sicuramente un atomo di carbonio, non c’è altra possibilità. Se un atomo possiede 1 protone è sicuramente un atomo di idrogeno e non c’è nessun altra possibilità.

Per uno stesso elemento è possibile possano esistere atomi con diverso numero di neutroni e questo significa che un atomo, pur appartenendo allo stesso elemento, può avere una massa diversa.

Proviamo per esempio..

pensare a due isotopi dell’atomo di carbonio in cui sono presenti 12 oppure 14 nucleoni (particelle subatomiche che stanno nel nucleo, ovvero protoni e neutroni), essi si chiamano rispettivamente “carbonio 12”, con simbologia \({}^{12}\textrm{C}\), e “carbonio 14”, con simbologia \( {}^{14}\textrm{C}\). I due tipi di carbonio cambiano solo in numero di neutroni ma non di protoni, infatti il \( {}^{14}\textrm{C}\) posside 14 nucleoni, di cui 6 protoni e 8 neutroni mentre il \( {}^{12}\textrm{C}\) possiede 12 nucleoni, di cui 6 protoni e 6 neutroni.

Come si può vedere..

il numero di protoni non è cambiato poiché se fosse cambiato sarebbe cambiato anche l’elemento preso in considerazione. Dovendo pensare infatti al carbonio con un protone in più non si tratterebbe più di carbonio ma di azoto, in quanto l’azoto è l’unico elemento della tavola periodica ad avere 7 protoni.

Quando due atomi appartengono allo stesso elemento della tavola periodica ma hanno diverso numero di neutroni (o anche diversa massa atomica) siamo in presenza dei cosiddetti isotopi. Sono tra loro isotopi atomi appartenenti allo stesso elemento ma con diverso numero di nucleoni, ovvero con diverso numero di neutroni (dal momento che quello di protoni, per uno stesso elemento, non può cambiare).

L’abbondanza isotopica

In natura succede di trovare atomi, appartenenti allo stesso elemento, con diverso numero di neutroni, cioè è possibile essere in presenza di sostanza pura con isotopi.

Supponiamo per esempio di avere 100.000 atomi di zolfo. Non tutti i 100.000 atomi di zolfo hanno peso atomico 32 U.M.A. (Unità di Massa Atomica). Infatti si può scoprire sperimentalmente che solo 95,020 atomi di zolfo di quei 100.000 atomi di zolfo ha massa pari a 32 U.M.A. Per calcolare la percentuale di atomi di zolfo con peso 32 U.M.A basta dividere 95,020 (gli atomi trovati con peso 32 U.M.A.) con 100.000 (la totalità degli atomi conteggiati).

Per cui

\( {}^{32}\textrm{S}_{perc}= \frac{n_{{}^{32}\textrm{S}}}{n_{tot}}\cdot100 \%\)

In cui:

• \( {}^{32}\textrm{S}_{perc}\) è la percentuale di atomi di zolfo a 32 U.M.A.
• \(n_{{}^{32}\textrm{S}}\) è il numero di atomi a peso atomico pari a 32 U.M.A.
• \(n_{tot}\) è il numero di atomi totale

Per qualsiasi quantitativo di una certa sostanza pura in natura si possono trovare in generale sempre le stesse percentuali di isotopi e, per lo zolfo nello specifico, valgono le percentuali presenti nell’elenco seguente:

• zolfo a 32 U.M.A. presente al 95.02%
• zolfo a 33 U.M.A presente al 0.72%
• zolfo a 34 U.M.A presente al 4.21%
• zolfo a 36 U.M.A presente al 0.02%

Questo tipo di isotopi sono detti stabili poichè non sono radioattivi, ovvero non decadono verso un diverso numero di nucleoni.

Quindi l’abbondanza isotopica è quella percentuale che, rispetto al quantitativo di atomi totali che si possiede, determina la quantità di isotopo presente.

Di seguito si presenta un esempio.

Abbiamo capito?

Si supponga di avere 128g di zolfo. Quanti grammi di zolfo hanno atomi dalla massa atomica pari a 32 U.M.A?

Soluzione esercizio sugli isotopi

NOTA IMPORTANTE: La seguente soluzione contiene dei ragionamenti che potrebbero essere omessi ai fini della risoluzione, tuttavia sono stati mantenuti perchè ritenuti stimolanti per il lettore che ha la necessità di approfondire la comprensione sul tema.

Il 95.02% degli atomi presenti nei 128g di zolfo ha sicuramente massa 32 U.M.A. In una mole di zolfo a 32 U.M.A ci sono 32g. Se nei 128g di zolfo tutti gli atomi avessero massa atomica pari a 32 Dalton servirebbero esattamente 4 moli per ottenere 128g di zolfo. Sappiamo però che solo il 95.02% degli atomi di zolfo dei 128g ha peso atomico di 32 Dalton.

Inoltre possiamo anche affermare quanto segue:

\( n_{{}^{32}\textrm{S}} + n_{{}^{33}\textrm{S}} + n_{{}^{34}\textrm{S}} + n_{{}^{36}\textrm{S}}= n_{tot}\)

In cui:

• \( n_{{}^{32}\textrm{S}}\) è il numero di atomi a peso atomico pari a 32 U.M.A.
• \( n_{{}^{33}\textrm{S}}\) è il numero di atomi a peso atomico pari a 33 U.M.A.
• \( n_{{}^{34}\textrm{S}}\) è il numero di atomi a peso atomico pari a 34 U.M.A.
• \( n_{{}^{36}\textrm{S}}\) è il numero di atomi a peso atomico pari a 36 U.M.A.
• \( n_{tot}\) è il numero di atomi totale

Sappiamo che in \(6.022\cdot10^{23}\) atomi di zolfo ci sono, in base alla formula precedente:

• \(0.9502 \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \simeq 5.722 \cdot 10^{23}\) atomi hanno peso atomico pari a 32 U.M.A.
• \(0.0072 \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \simeq 4.336 \cdot 10^{21}\) atomi hanno peso atomico pari a 33 U.M.A.
• \(0.0421 \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \simeq 2.535 \cdot 10^{22}\) atomi hanno peso atomico pari a 34 U.M.A.
• \(0.0002 \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \simeq 1.204 \cdot 10^{20}\) atomi hanno peso atomico pari a 36 U.M.A.
• la somma di tutti i precedenti da \( 6.022\cdot10^{23}\) atomi.

Chiarificate queste considerazioni sugli isotopi..

abbiamo ora più chiaro come può essere calcolato il peso di \(6.022\cdot10^{23}\) atomi con quel frazionamento di isotopi. Una volta trovato il peso di \( 6.022\cdot10^{23}\) atomi sarà semplice risolvere il problema. Facendo i conti si può arrivare a stabilire che il valore finale deve essere circa 32.08g ogni \( 6.022\cdot10^{23}\) tomi con quelle percentuali di composizione in termini di isotopi.

Tale valore viene infatti dalla seguente (si potrebbe risolvere partendo da qui, senza i ragionamenti precedenti, i quali sono stati tuttavia lasciati perchè ritenuti stimolanti per il lettore che ha necessità di approfondire la comprensione sul tema):

\( 0.9502 \cdot 32g + 0.0072 \cdot 33g + 0.0421 \cdot 34g + 0.0002 \cdot 36g \simeq 32.08g\)

Quindi \( 6.022\cdot10^{23} \) atomi di zolfo con la composizione isotopica sopra indicata pesano circa 32.08g. Da cui si può stabilire che:

\( \frac{128g}{32.08g} \simeq 3.99\)

Questo significa che ci vogliono \( 3.99\cdot 6.022\cdot10^{23}\) atomi di zolfo con quella composizione isotopica per formare 128g.

Basterà quindi ora eseguire l’operazione:

\( 3.99 \cdot 0.9502 \cdot 32g \simeq 121.32g\)

Verifica della soluzione

Per poterlo confermare si consideri anche:

\( 3.99 \cdot 0.0072 \cdot 33g \simeq 0.95g\)

\( 3.99 \cdot 0.0421 \cdot 34g \simeq 5.71g\)

\( 3.99 \cdot 0.0002 \cdot 36g \simeq 0.028g\)

Da cui la somma deve dare 128g (con le dovute approssimazioni merito alle approssimazioni precedenti) e infatti:

quindi il risultato finale per risolvere l’esercizio degli isotopi è:

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