Determina il raggio della circonferenza con un rettangolo inscritto

Testo

Si consideri un rettangolo inscritto in una circonferenza con perimetro pari a \(30a\). È noto che la somma della metà della base del rettangolo con l’altezza è 10\(a\). Si richiede di determinare il raggio della circonferenza.

Soluzione

Dai dati si capisce che il rettangolo ABCD ha perimetro 30a, quindi:

\(\overline{AB} + \overline{BC} +\overline{CD} + \overline{DA} = 30a\)

La quale, tenendo in considerazione che \( \overline{AB}=\overline{CD}\) e che \(\overline{BC}=\overline{DA}\), si può riscrivere come segue:

\( 2\overline{AB} + 2\overline{BC}  = 30a\)

Se \( \overline{AB}\) è la base e \(\overline{BC}\) è l’altezza si sa (dal testo del problema) anche che:

\( \frac{\overline{AB}}{2}+ \overline{BC} = 10a\)

Entrambe le equazioni precedenti devono essere contemporaneamente soddisfatte, quindi non ci rimane che risolvere il seguente sistema:

\( \left\{\begin{matrix}
\frac{\overline{AB}}{2}+ \overline{BC} = 10a
\\ 2\overline{AB} + 2\overline{BC}  = 30a
\end{matrix}\right. \)

Ovvero:

\(\left\{\begin{matrix}
\overline{AB}+ 2\overline{BC} = 20a
\\ 2\overline{AB} + 2\overline{BC}  = 30a
\end{matrix}\right. \)

Sottraendo la prima alla seconda si ottiene:

\( \overline{AB}=10a\)

E quindi, di conseguenza, si scopre facilmente che:

\( \overline{BC}=5a\)

A questo punto conosciamo base e altezza del rettangolo.

Consideriamo ora che il rettangolo è inscritto nella circonferenza..

come nella figura seguente.

Nell’immagine troviamo una figura geometrica composta da una circonferenza con un rettangolo all’interno è
comunemente chiamata rettangolo circoscritto. Questa figura è costituita da una
circonferenza che circonda completamente un rettangolo, in cui i vertici del rettangolo sono
posizionati sulla circonferenza: Il diametro della circonferenza è uguale alla diagonale del
rettangolo, e il rapporto tra il perimetro del rettangolo e la circonferenza è costante.

Figura 1. Il rettangolo è inscritto nella circonferenza

Dalla Figura si può evincere che la diagonale del rettangolo è anche il diametro della circonferenza

E dunque si può, sfruttando il teorema di Pitagora, dire che:

\(\overline{AB}^{2} + \overline{AD}^{2} = \overline{BD}^{2}\)

E quindi si fa presto a dire che:

\(\overline{BD} = \sqrt{10^{2}a^{2}+5^{2}a^{2}}\)

Ovvero:

\( \overline{BD} = k \sqrt{125} = 5 \sqrt{5}a\)

Da cui il raggio è:

\( r = \frac{\overline{BD}}{2} = \frac{5 \sqrt{5}}{2}a\)