A quale distanza si trova il filo di alluminio che viene allontanato?

Testo

Supponi di avere un filo di alluminio lungo \(2m\), con sezione rettangolare \((4mm \times 1mm)\)  e percorso da una corrente pari a \(40A\). Supponi poi che tale filo sia poggiato su una superficie con un coefficiente di attrito \(\mu=0.2\).

Vuoi allontanare il filo di alluminio, sfruttando la legge di Ampère, per mezzo di un filo di ferro lunghissimo a sezione circolare, tenuto fermo sulla superficie in cui è poggiato il filo di alluminio. Sul filo di ferro imponi una corrente pari a \(26,5A\).

Quale è la distanza a cui si trovano i due fili?

Ricorda la densità dell’alluminio \(\rho=2.7 \cdot 10^3 \frac{kg}{m^3}\)

Soluzione

Se supponessimo un verso di corrente per il filo di alluminio..

Allora questo verso dovrebbe essere opposto a quello che percorre il filo di ferro.

Per calcolare la forza di repulsione tra i due fili utilizza la seguente formula:

\(||\overrightarrow{F}||=\frac{\mu_0}{2\pi}\cdot \frac{i_A i_F L}{d}\)

in cui:

  • \(||\overrightarrow{F}||\)  è il modulo della forza che si genera tra i due fili per il solo fatto di essere attraversati da corrente e di trovarsi a una certa distanza;
  • \(\mu_0\)  è la permeabilità magnetica del vuoto;
  • \(i_A\) è la corrente che attraversa il filo di alluminio;
  • \( i_F\) è la corrente che attraversa il filo di ferro;
  • \(L\) è la lunghezza dei due fili (in questo caso si prende in considerazione quella del filo di alluminio, perché presumibilmente è il più corto tra i due);
  • \(d\) è la distanza tra i due fili, incognita.

Tale forza deve spostare il filo di alluminio..

E quindi dovrà essere almeno uguale alla forza di attrito che lo fa desistere dal muoversi. La forza d’attrito è data in questo caso da:

\(\overrightarrow{F}=\mu \overrightarrow{F}_p\)

in cui:

  • \(\mu\) è il coefficiente d’attrito dato dal problema;
  • \(\overrightarrow{F}_p\) è la forza peso (o anche solo peso) del cavetto di alluminio.

Deve essere che:

\(||\overrightarrow{F}||>||\overrightarrow{F}_a||\)

Sapendo che hanno verso sicuramente opposto. Nel nostro caso siamo nella condizione in cui:

\(||\overrightarrow{F}||=||\overrightarrow{F}_a||\)

Ovvero:

\(\mu ||\overrightarrow{F}_p||=\frac{\mu_0}{2\pi}\cdot \frac{i_A i_F L}{d}\)

Quindi la distanza cercata sarà data da:

\(d=\frac{\mu_0}{2\pi}\cdot \frac{i_A i_F L}{\mu ||\overrightarrow{F}_p||}\)

Di questi conosciamo direttamente tutti i termini, tranne \(||\overrightarrow{F}_p||\) che è uguale a:

\(||\overrightarrow{F}_p=m ||\overrightarrow{g}||\)

In cui:

  • \(m\) è la massa del filo di alluminio;
  • \(||\overrightarrow{g}||\) è il modulo dell’accelerazione gravitazionale.

Siccome non conosciamo \(m\) dobbiamo ricavarla con i dati che abbiamo, per cui:

\(m=\rho V_A\)

In cui:

  • \(\rho\) è la densità dell’alluminio;
  • \(V_A\) è il volume del cavo di alluminio.

Il volume del cavo di alluminio \(V_A\) è dato da:

\(V_A=SL=bhL\)

In cui:

  • \(S\) è una sezione del cavo di alluminio;
  • \(b\) è la base del rettangolo di sezione;
  • \(h\) è l’altezza del rettangolo di sezione;
  • \(L\) è la lunghezza del filo di alluminio.

Cavo di alluminio percorso da corrente (sezione rettangolare)

Filo di alluminio percorso da corrente

Per cui:

\(d=\frac{\mu_0}{2\pi}\cdot \frac{i_A i_F L}{\mu ||\overrightarrow{F}_p||}\)

Diventa:

\(d=\frac{\mu_0}{2\pi}\cdot \frac{i_A i_F L}{\mu (\rho b h L ||\overrightarrow{g}||)}\)

Ora si procede a sostituire e a utilizzare la calcolatrice per i conti. Si ha:

operazione matematica per capire il problema del filo di alluminio
operazione matematica per risolvere il quesito del filo di alluminio

\(d=\frac{(10^{-7})(26,5)(100)}{(2,7)(10^{-3})(9,81)}m\)

\(d=\frac{(10^{-2}) (26,5)}{(2,7)(9,81)}m\)

\(d=\frac{(10^{-2})(26,5)}{(2,7)(9,81)}m \approx 1cm\)

Quindi la distanza a cui si trovano i due fili è circa pari a \(1cm\)

Ti è stato utile l’articolo? inoltre ti consigliamo di guardare anche:

Quanta corrente serve per spostare il filo di alluminio?

Quanta corrente fornire al fil0 di alluminio per farlo muovere?

Un commento su “A quale distanza si trova il filo di alluminio che viene allontanato?

I commenti sono chiusi.

Translate »