A quale distanza si trova il filo di alluminio che viene allontanato?

Testo

Supponi di avere un filo di alluminio lungo \(2m\), con sezione rettangolare \((4mm \times 1mm)\)  e percorso da una corrente pari a \(40A\). Supponi poi che tale filo sia poggiato su una superficie con un coefficiente di attrito \(\mu=0.2\).

Vuoi allontanare il filo di alluminio, sfruttando la legge di Ampère, per mezzo di un filo di ferro lunghissimo a sezione circolare, tenuto fermo sulla superficie in cui è poggiato il filo di alluminio. Sul filo di ferro imponi una corrente pari a \(26,5A\).

Quale è la distanza a cui si trovano i due fili?

Ricorda la densità dell’alluminio \(\rho=2.7 \cdot 10^3 \frac{kg}{m^3}\)

Soluzione

Se supponessimo un verso di corrente per il filo di alluminio..

Allora questo verso dovrebbe essere opposto a quello che percorre il filo di ferro.

Per calcolare la forza di repulsione tra i due fili utilizza la seguente formula:

\(||\overrightarrow{F}||=\frac{\mu_0}{2\pi}\cdot \frac{i_A i_F L}{d}\)

in cui:

• \(||\overrightarrow{F}||\)  è il modulo della forza che si genera tra i due fili per il solo fatto di essere attraversati da corrente e di trovarsi a una certa distanza;
• \(\mu_0\)  è la permeabilità magnetica del vuoto;
• \(i_A\) è la corrente che attraversa il filo di alluminio;
• \( i_F\) è la corrente che attraversa il filo di ferro;
• \(L\) è la lunghezza dei due fili (in questo caso si prende in considerazione quella del filo di alluminio, perché presumibilmente è il più corto tra i due);
• \(d\) è la distanza tra i due fili, incognita.

Tale forza deve spostare il filo di alluminio..

E quindi dovrà essere almeno uguale alla forza di attrito che lo fa desistere dal muoversi. La forza d’attrito è data in questo caso da:

\(\overrightarrow{F}=\mu \overrightarrow{F}_p\)

in cui:

• \(\mu\) è il coefficiente d’attrito dato dal problema;
• \(\overrightarrow{F}_p\) è la forza peso (o anche solo peso) del cavetto di alluminio.

Deve essere che:

\(||\overrightarrow{F}||>||\overrightarrow{F}_a||\)

Sapendo che hanno verso sicuramente opposto. Nel nostro caso siamo nella condizione in cui:

\(||\overrightarrow{F}||=||\overrightarrow{F}_a||\)

Ovvero:

\(\mu ||\overrightarrow{F}_p||=\frac{\mu_0}{2\pi}\cdot \frac{i_A i_F L}{d}\)

Quindi la distanza cercata sarà data da:

\(d=\frac{\mu_0}{2\pi}\cdot \frac{i_A i_F L}{\mu ||\overrightarrow{F}_p||}\)

Di questi conosciamo direttamente tutti i termini, tranne \(||\overrightarrow{F}_p||\) che è uguale a:

\(||\overrightarrow{F}_p=m ||\overrightarrow{g}||\)

In cui:

• \(m\) è la massa del filo di alluminio;
• \(||\overrightarrow{g}||\) è il modulo dell’accelerazione gravitazionale.

Siccome non conosciamo \(m\) dobbiamo ricavarla con i dati che abbiamo, per cui:

\(m=\rho V_A\)

In cui:

• \(\rho\) è la densità dell’alluminio;
• \(V_A\) è il volume del cavo di alluminio.

Il volume del cavo di alluminio \(V_A\) è dato da:

\(V_A=SL=bhL\)

In cui:

• \(S\) è una sezione del cavo di alluminio;
• \(b\) è la base del rettangolo di sezione;
• \(h\) è l’altezza del rettangolo di sezione;
• \(L\) è la lunghezza del filo di alluminio.

Cavo di alluminio percorso da corrente (sezione rettangolare)

Per cui:

\(d=\frac{\mu_0}{2\pi}\cdot \frac{i_A i_F L}{\mu ||\overrightarrow{F}_p||}\)

Diventa:

\(d=\frac{\mu_0}{2\pi}\cdot \frac{i_A i_F L}{\mu (\rho b h L ||\overrightarrow{g}||)}\)

Ora si procede a sostituire e a utilizzare la calcolatrice per i conti. Si ha:

\(d=\frac{(10^{-7})(26,5)(100)}{(2,7)(10^{-3})(9,81)}m\)

\(d=\frac{(10^{-2}) (26,5)}{(2,7)(9,81)}m\)

\(d=\frac{(10^{-2})(26,5)}{(2,7)(9,81)}m \approx 1cm\)

Quindi la distanza a cui si trovano i due fili è circa pari a \(1cm\)

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