Quanta corrente serve per spostare il filo di alluminio?

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Supponiamo di avere un filo di alluminio a sezione rettangolare poggiato su una superficie e di volerlo allontanare da un filo di ferro lunghissimo a sezione circolare, tenuto fermo sulla superficie di interesse. Vogliamo spostare il filo di alluminio sfruttando la legge di Ampère e quindi imponendo una corrente ai capi del filo di ferro in modo che quello di alluminio si sposti.

Quale è la corrente minima che devo far passare attraverso il filo di ferro?

Dati:

• distanza tra i due fili \(1cm\);
• densità dell’alluminio \(rho=2.7 \cdot 10^3 \frac{kg}{m^3}\);
• coefficiente di attrito della superficie \(mu=0.2\);
• corrente circolante nel filo di alluminio \(40A\);
• lunghezza filo di alluminio \(2m\);
• base della sezione rettangolare del filo di alluminio \(4mm\),
• altezza della sezione rettangolare del filo di alluminio \(1mm\)

Soluzione

Se supponessimo un verso di corrente per il filo di alluminio, allora questo verso dovrebbe essere opposto a quello che percorre il filo di ferro.

Per calcolare l’intensità di corrente minima ad allontanare il filo di alluminio si tenga in considerazione la seguente formula:

\(||\overrightarrow{F}||=\frac{\mu_0}{2 \pi}\cdot \frac{i_A i_{F,min}L}{d}\)

In cui:

• \(||\overrightarrow{F}||\)  è il modulo della forza che si genera tra i due fili per il solo fatto di essere attraversati da corrente e di trovarsi a una certa distanza;
• \(\mu_0\) è la permeabilità magnetica del vuoto;
• \(i_A\) è la corrente che attraversa il filo di alluminio;
• \(i_{F,min}\) è la corrente che attraversa il filo di ferro ed è la minima possibile che consente l’allontanamento del filo di alluminio;\(L\) è la lunghezza dei due fili (in questo caso si prende in considerazione quella del filo di alluminio, perché presumibilmente è il più corto tra i due);
• \(d\) è la distanza tra i due fili.

Tale forza..

Deve spostare il filo di alluminio e quindi dovrà essere almeno uguale alla forza di attrito che lo fa desistere dal muoversi. La forza d’attrito è data in questo caso da:

\(\overrightarrow{F}=\mu \overrightarrow{F}_p\)

In cui:

• \(\mu\) è il coefficiente d’attrito dato dal problema;
• \(\overrightarrow{F}_p\) è la forza peso (o anche solo peso) del cavetto di alluminio.

Deve essere che:

\(||\overrightarrow{F}||> ||\overrightarrow{F}_a||\)

Sapendo che hanno verso sicuramente opposto. Nel nostro caso, per via del fatto che cerchiamo il valore minimo di \( ||\overrightarrow{F}||\) ci mettiamo nella condizione in cui:

\(||\overrightarrow{F}||= ||\overrightarrow{F}_a||\)

Ovvero:

\( \mu||\overrightarrow{F}_p||=\frac{\mu_0}{2\pi} \cdot \frac{i_A i_{F,min} L}{d}\)

Quindi:

\(i_{F,min}=\frac{2\pi \mu ||\overrightarrow{F}_p||d}{\mu_0 i_A L}\)

Di questi conosciamo direttamente tutti i termini, tranne \(||\overrightarrow{F}_p||\) che è uguale a:

\(||\overrightarrow{F}_p=m ||\overrightarrow{g}||\)

in cui:

• \(m\) è la massa del filo di alluminio;
• \(||\overrightarrow{g}||\) è il modulo dell’accelerazione gravitazionale.

Siccome non conosciamo \(m\) dobbiamo ricavarla con i dati che abbiamo, per cui:

\(m= \rho V_a\)

In cui:

• \(\rho\) è la densità dell’alluminio;
• \(V_a\) è il volume del cavo di alluminio.

Il volume del cavo di alluminio \(V_a\) è dato da:

\(V_a=SL= bhL\)

In cui:

• \(S\) è una sezione del cavo di alluminio;
• \(b\) è la base del rettangolo di sezione;
• \(h\) è l’altezza del rettangolo di sezione;
• \(L\) è la lunghezza del filo di alluminio.

Graficamente (per il cavo percorso da corrente)..

Per cui:

\(i_{F,min}=\frac{2\pi ||\overrightarrow{F}_p||d}{\mu_0 i_A L}\)

Diventa:

\(i_{F,min}=\frac{2\pi \mu (\rho bh L||\overrightarrow{g}||)d}{\mu_0 i_A L}\)

Ora si procede a sostituire e a utilizzare la calcolatrice per i conti. Si ha:

\(i_{F,min}=\frac{(2,7 \cdot 10^3)(9,81)(10^-{1})}{(100)}A\)

\(i_{F,min}=(2,8)(9,81)=26,487A\)

Quindi la corrente minima che devo far passare attraverso il filo di ferro è circa pari a \(26,487A\).

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