Testo

Un filo di alluminio di sezione rettangolare \((4mm \times 1mm)\) è poggiato su una superficie e non si muove. Vuoi far scorrere una corrente su di esso in modo che si muova sapendo che a \(1cm\) di distanza del filo di alluminio c’è un filo di ferro fermo a sezione circolare, in cui scorre una corrente pari a \(26.5A\) Il coefficiente di attrito del tavolo su cui sono poggiati i due fili è \(\mu=0.2\) e il cavo di alluminio è lungo \(2m\).Sapendo che la densità dell’alluminio è pari a \(\rho=2.7 \cdot 10^3 \frac{kg}{m^3}\)

Soluzione

Se supponessimo un verso di corrente per il filo di alluminio, allora questo verso dovrebbe essere opposto a quello che percorre il filo di ferro.

Per calcolare l’intensità di corrente minima ad allontanare il filo di alluminio si tenga in considerazione la seguente formula:

\(||\overrightarrow{F}||=\frac{\mu_0}{2\pi}\cdot \frac{i_{A,min} i_F L}{d}\)

In cui:

• \(||\overrightarrow{F}||\) è il modulo della forza che si genera tra i due fili per il solo fatto di essere attraversati da corrente e di trovarsi a una certa distanza;
• \(\mu_0\) è la permeabilità magnetica del vuoto;
• \(i_{A,min}\) è la corrente che attraversa il filo di alluminio ed è la minima possibile che consente l’allontanamento del filo di alluminio da quello di ferro;
• \(i_F\) è la corrente che attraversa il filo di ferro;
• \(L\) è la lunghezza dei due fili (in questo caso si prende in considerazione quella del filo di alluminio, perché presumibilmente è il più corto tra i due);
• \(d\) è la distanza tra i due fili.

\(\overrightarrow{F}=\mu \overrightarrow{F}_p\)

In cui:

• \(\mu\) è il coefficiente d’attrito dato dal problema;
• \(\overrightarrow{F}_p\) è la forza peso (o anche solo peso) del cavetto di alluminio.

\(|| \overrightarrow{F}||>|| \overrightarrow{F}_a||\)

Sapendo che..

hanno verso sicuramente opposto. Nel nostro caso, per via del fatto che cerchiamo il valore minimo di \(|| \overrightarrow{F}||\) , ci mettiamo nella condizione in cui:

\(|| \overrightarrow{F}||=|| \overrightarrow{F}_a||\)

Ovvero:

\(\mu||\overrightarrow{F}_p||=\frac{\mu_0}{2\pi}\cdot \frac{i_{A,min}i_F L}{d}\)

Quindi:

\(i_{A,min}=\frac{2\pi \mu ||\overrightarrow{F}_p|| d}{\mu_0 i_F L}\)

Di questi conosciamo direttamente tutti i termini, tranne \(||\overrightarrow{F}_p||\) che è uguale a:

\(||\overrightarrow{F}_p||=m ||\overrightarrow{g}||\)

In cui:

• \(m\) è la massa del filo di alluminio;
• \(||\overrightarrow{g}||\) è il modulo dell’accelerazione gravitazionale.

Siccome non conosciamo \(m\) dobbiamo ricavarla con i dati che abbiamo, per cui:

\(m=\rho V_a\)

In cui:

• \(\rho\) è la densità dell’alluminio;
• \(V_A\) è il volume del cavo di alluminio.

Il volume del cavo di alluminio \(V_A\) è dato da:

\(V_A=SL=bhL\)

In cui:

• \(S\) è una sezione del cavo di alluminio;
• \(b\) è la base del rettangolo di sezione;
• \(h\) è l’altezza del rettangolo di sezione;
• \(L\) è la lunghezza del filo di alluminio.

Filo di alluminio di sezione rettangolare percorso da corrente..

Per cui:

\(i_{A,min}=\frac{2\pi ||\overrightarrow{F}_p|| d}{\mu_0 i_F L}\)

Diventa:

\(i_{A,min}=\frac{2\pi \mu (\rho bhL ||\overrightarrow{g}||)d}{\mu_0 i_F L}\)

Ora si procede a sostituire e a utilizzare la calcolatrice per i conti. Si ha:

\(i_{a,min}=\frac{2 (0,2)(2,8 \cdot 10^2)(9,81)}{(26.5)}A \approx 40A\)

Quindi la corrente minima che devo far passare attraverso il filo di alluminio è circa pari a \(40A\)

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A quale distanza si trova il filo di alluminio che viene allontanato?