Testo
Continua a leggere Esercizio numero 547 a pagina 322 (la matematica a colori 5)Tag: retta
Spiegazione e dimostrazione del teorema di Fermat
In questo scritto è possibile trovare:
- l’enunciato del teorema di Fermat;
- richiami teorici sui requisiti per la corretta interpretazione del teorema e della sua dimostrazione;
- la dimostrazione del teorema di Fermat.
1 Enunciato del teorema
Data una funzione reale ad una variabile reale, che risulta continua e derivabile in un certo intervallo aperto I del valore \( x_0\), se in corrispondenza di \( x_0\) vi è un punto di massimo (minimo) allora la derivata prima in \( x_0\) vale zero. \( x_0\) viene anche detto punto di stazionarietà per la funzione \(f(x)\).
Più formalmente, se esiste una funzione \(f:(a,b)→\mathbb{R}\) che ha punto di massimo o minimo locale in \(x_0∈(a,b)\) e la funzione è differenziabile in \(x_0\) allora \( f’ (x_0 )=0 \).
L’affermazione dell’enunciato viene resa palese tramite la rappresentazione grafica in Figura 1, in cui i valori \( M \) (di massimo locale) ed m (di minimo locale) rappresentano valori scelti di \(x_0\). Risulta chiaro che in corrispondenza di tali valori il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione è pari a zero, infatti la retta tangente risulta parallela all’asse \(x\).
Qualora il concetto del teorema di Fermat risulti poco chiaro è suggerito proseguire la lettura, in cui verranno chiarificati, tramite dei richiami teorici, i requisiti per la corretta interpretazione del teorema.
Alla fine dei richiami verrà mostrata la dimostrazione dell’enunciato, perciò se è tutto chiaro si consiglia di procedere direttamente alla dimostrazione del teorema di Fermat.
2 Prerequisiti
Prima di passare alla dimostrazione del teorema è consigliato dare un ripasso rapido ai seguenti concetti:
- Rapporto incrementale;
- Derivata prima in un punto;
- Massimi e minimi relativi;
- Massimi e minimi stazionari e non stazionari.
Vengono riportati di seguito dei richiami ai temi necessari per la corretta interpretazione del teorema di Fermat e della sua interpretazione. Qualora tutti questi concetti siano chiari, si passi tranquillamente alla dimostrazione del teorema.
2.1 Rapporto incrementale
Data una funzione continua in un determinato intorno \(I\) del valore \(x_0\) si definisce rapporto incrementale in un punto \(x_0\), appartenente all’intorno, il rapporto tra la variazione della funzione a seguito di un certo incremento h sull’asse delle x e l’incremento stesso.
In modo più formale, si supponga che \(f:\mathbb{R}→\mathbb{R}\) sia una funzione continua in un certo intervallo I e si supponga che \(x_0\) sia un punto appartenente ad \(I\). Sia h un certo incremento, in x, rispetto al punto \(x_0\), tale che sia identificabile un nuovo valore \(x_0 + h\).
Il rapporto incrementale è dato da:
\( \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h} \)
Una rappresentazione geometrica dei termini presenti nel rapporto incrementale è osservabile dalla Figura 2.
Come ulteriormente precisato in Figura 3, è possibile evincere come il rapporto incrementale sia geometricamente corrispondente alla pendenza della retta secante la funzione e passante per il punto \( A ( x_0,f(x_0 )) \) e il punto \( B (x_0+h,f(x_0+h)) \).
2.2 Derivata prima in un punto
La derivata prima di una funzione in un punto \( x_0 \) è definita come il limite, per \( h \) che tende a zero, del rapporto incrementale:
\( \frac{f(x_0+h )-f(x_0 )}{h} \)
Il quale geometricamente esprime il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto \(x_0\), come illustrato in Figura 4.
Il termine:
\( f’ (x)= \lim\limits_{h \mapsto 0} \frac{f(x_0+h )-f(x_0 )}{h}\)
Rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione \( f(x) \) nel punto \( x_0 \) e si dice derivata prima della funzione \( f(x) \).
2.3 Massimo/minimo relativo
2.3.1 Massimo relativo
Sia \(f:\mathbb{R}→\mathbb{R}\), definiamo \(x_0\) punto di massimo relativo se esiste almeno un intorno di \(x_0\) tale che, per ogni x appartenente all’intorno di \(x_0\), il valore della funzione in \(x_0\) è maggiore o uguale al valore che la funzione assume in ogni punto di tale intorno.
In Figura 4 viene rappresentato un intorno del valore \(x_0\) e tale intorno è definito dalla quantità \(\delta\). La quantità \(\delta\) può essere scelta piccola a piacere ma rimane comunque vero che \(x_0\) è maggiore o uguale al valore che la funzione assume in ogni punto di tale intorno.
Si supponga che tale intorno venga chiamato \(I(x_0 )\).
Deve essere vero che:
\(\forall x \in I(x_0 ) \to f(x_0 ) \geq f(x)\)
E si legge: per qualunque x appartenente all’intorno \(I\) di \(x_0\) si ha che \(f(x_0 )\) è maggiore o uguale a \(f(x)\).
2.3.2 Minimo relativo
Sia \(f:\mathbb{R}→\mathbb{R}\), definiamo \(x_0\) punto di minimo relativo se esiste almeno un torno di \(x_0\) tale che per ogni x appartenente all’intorno di \(x_0\) il valore della funzione in \(x_0\) è minore o uguale al valore che la funzione assume in ogni punto di tale intorno.
In Figura 5 viene rappresentato un intorno del valore \(x_0\) e tale intorno è definito dalla quantità \(\delta\).
Si supponga che tale intorno venga chiamato \(I(x_0 )\). Deve essere vero che:
\(\forall x \in I(x_0 ) \to f(x_0 ) \leq f(x)\)
2.3.3 Un punto di massimo/ minimo può essere stazionario o non stazionario
Un punto di massimo o di minimo può essere stazionario o non stazionario. In particolare, un punto è detto stazionario quando la derivata prima in quel punto vale zero. In questo caso la pendenza della retta tangente è nulla, e quindi la retta tangente è orizzontale.
Gli esempi riportati in Figura 4 e in Figura 5 mostrano dei punti stazionari rispettivamente di massimo e di minimo locale. Non necessariamente un punto di stazionarietà è però di massimo o di minimo locale, casistica in cui si parla di punto di flesso, come quella rappresentata in Figura 6.
Nel caso in cui non si è in presenza di punti di stazionarietà, questi possono comunque essere punti di massimo o di minimo locale. Infatti se è vero che la derivata nulla può essere indice di punto di massimo o di minimo locale non è vero che il contrario e cioè potrebbe essere possibile trovare dei punti di massimo o di minimo locale con valori di derivata diversi da zero.
Più precisamente può capitare per esempio che ci sia un punto in cui la derivata destra e sinistra siano tra loro diverse.
Le condizioni che potrebbero presentarsi sono le seguenti:
- Un punto angoloso,
- Una cuspide,
- Un estremo in cui la pendenza della retta è non nulla.
Questi casi possono dare luogo a dei minimi o dei massimi locali che sono
Massimo non stazionario
In Figura 7 vengono mostrati dei casi di massimo locale che non hanno derivata nulla, cioè non sono punti stazionari. Si può osservare come le rette tangenti in tali punti non mostrino coefficiente angolare uguale a zero.
In Figura 8 vengono mostrati dei casi di minimo locale che non hanno derivata nulla, cioè non sono punti stazionari. Si può osservare come le rette tangenti in tali punti non mostrino coefficiente angolare uguale a zero.
2.4 Teorema di Fermat
Data una funzione reale ad una variabile reale che risulta continua e derivabile in un certo intervallo \(I\), se \(x_0\) è un punto di massimo (minimo) allora la derivata prima in \(x_0\) vale zero. Ovvero \(x_0\) è un punto stazionario.
Ipotesi
Sia \(f:\mathbb{R}→\mathbb{R}\) continua e derivabile in \(I \subset D\) e \(x_0 \in I\) sia un punto di massimo.
Tesi
\(f'(x_0)=0\)
Cioè \( x_0 \) è stazionario.
Osservazione
L’ipotesi di derivabilità consente di non ricadere nel caso del punto angoloso o di cuspide, perché in tali punti, essendo le derivate sinistra e destra differenti, si parla di funzioni non derivabili in quei punti. Inoltre, l’ipotesi di derivabilità vieta la possibilità di stare agli estremi di definizione. In quanto in tali punti la funzione non ha derivata sinistra e destra ma o solo sinistra o solo destra.
Dimostrazione
Si consideri un certo intorno di \(x_0\), \((x_0-\delta ; x_0 + \delta ) \). È possibile suddividere tale intorno in due zone:
Intorno sinistro di \( x_0, (x_0- \delta ; x_0 ] \), indicato con \( I^{-} (x_0) \);
Intorno destro di \(x_0 \), \([x_0;x_0+\delta)\),indicato con \(I^{+} (x_0 )\).
In Figura 9 viene illustrata la situazione di riferimento.
Quindi è possibile definire come segue l’intorno di \(x_0\):
\(I(x_0 )=(x_0-\delta ,x_0+\delta) \)
E come segue l’intorno sinistro di \(x_0\):
\(I^{-}(x_0 )=(x_0 – \delta , x_0 )\)
E infine l’intorno destro di \(x_0\):
\( I^{+} (x_0 )=(x_0,x_0+\delta )\)
Intorno sinistro di \(x_0\)
Si consideri ora l’intorno sinistro e il rapporto incrementale sinistro nel punto \(x_0\), l’obiettivo è quello di ragionare sulla derivata sinistra nel punto \(x_0\).
Si può scrivere il rapporto incrementale sinistro nel seguente modo:
\(RI^{-} (x_0 )=\frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h}\)
In questo caso è necessario considerare un valore di \(h\) negativo, perché la quantità \(x_0+h\) deve trovarsi a sinistra del valore \(x_0\), come mostrato in Figura 10.
Considerando \(h<0\) per la quantità \(RI^{-} (x_0 )=\frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h}\) si deve avere che
\( f(x_0+h)-f(x_0 ) \leq 0 \)
Infatti
\( f(x_0 ) \geq f(x_0+h) \)
E di conseguenza:
\( \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h} \geq 0\)
Si nota subito che tale rapporto incrementale presenta:
- Un numeratore negativo;
- Un denominatore negativo.
Il numeratore è negativo poiché \(x_0\) è punto di massimo, quindi il valore di \(f(x_0 )\) è maggiore o uguale a quello di ogni altra \(f(x)\) all’interno dell’intorno \(I^{-} (x_0 )\) e quindi anche di \(f(x_0+h)\). Il denominatore è negativo poiché abbiamo assunto un incremento h negativo. Dunque, il rapporto incrementale nell’intorno sinistro è certamente maggiore o uguale a zero. Dopotutto è possibile notare come la retta secante sia crescente. Passando al limite del rapporto incrementale per h tendente a zero, dovremmo ammettere che è maggiore o uguale a zero.
\(f’_{-} (x_0 )=\lim\limits_{h \to 0} RI^{-} (x_0 ) \geq 0\)
Dunque, si sta ammettendo che la derivata sinistra è maggiore o uguale a zero.
Intorno destro di \(x_0\)
Si consideri ora l’intorno destro \( I^{+} (x_0 ) \) e il rapporto incrementale destro nel punto \( x_0 \), l’obiettivo è quello di ragionare sulla derivata destra nel punto \( x_0 \).
Si può scrivere il rapporto incrementale destro nel seguente modo:
\( RI^{+} (x_0 ) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h} \)
In questo caso è invece necessario ammettere che il valore di \( h \) è positivo, come viene delucidato dalla Figura 11.
Considerando \( h>0 \) per la quantità \( RI^{+} (x_0 )= \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h}\) si deve avere che
\( f(x_0+h)- f(x_0 ) \leq 0 \)
Infatti:
\( f(x_0 ) \geq f(x_0+h) \)
E di conseguenza:
\( \frac{f(x_0+h)-f(x_0 )}{h} \leq 0 \)
Notiamo subito che tale rapporto incrementale presenta:
- Un numeratore negativo
- Un denominatore positivo
Il numeratore è ancora negativo, poiché \(x_0\) è punto di massimo. Quindi il valore di \( f(x_0 ) \) è maggiore o uguale a quello di ogni altra \( f(x) \) all’interno dell’intorno \( I^{+} (x_0 ) \) e quindi anche di \( f(x_0+h)\). Il denominatore è positivo poiché è stato assunto un incremento \(h\) positivo, dunque il rapporto incrementale nell’intorno sinistro è certamente minore o uguale a zero. Dopotutto è possibile notare come la retta sia secante è decrescente. Passando al limite del rapporto incrementale per h tendente a zero, è necessario ammettere che è minore o uguale a zero.
\(f’_{+} (x_0 )=\lim\limits_{h \to 0} RI^{+} (x_0 ) \leq 0 \)
Dunque, si sta ammettendo che la derivata destra è minore o uguale a zero.
Volendo ricapitolare:
- La derivata sinistra di \(x_0\) è maggiore o uguale a zero.
- La derivata destra di \(x_0\) è minore o uguale a zero.
Un’illustrazione della situazione di questa prima conclusione viene fornita in Figura 12.
Siccome la funzione è derivabile in \(x_0\) per ipotesi, allora la derivata sinistra deve per forza coincidere con la derivata destra. Questo è possibile solamente quando la derivata è uguale a zero, che è la tesi.
Tenendo in considerazione che \( f’_{-} (x_0 ) \geq 0 \) e che \(f’_{+} (x_0 ) \leq 0\) deve dunque essere per forza che:
f’_{-} (x_0 )=f’_{+} (x_0 )=0
È stato dunque dimostrato che se una funzione è continua e derivabile in un certo intervallo, i punti di massimo (o di minimo) presenti internamente sono stazionari.
Come risolvere esercizio n. 34 pag.177 (Matematica.verde 3G)
L’esercizio è presente anche nel seguente libro
- esercizio n. 34 pag. 215 (Matematica.rosso 3 con tutor)
1 Testo
Determina per quale valore di k si ottiene una retta del fascio di equazione
\( kx+\left(1-2k\right)y+3+k=0\)
- passante per l’origine;
- parallela alla retta;
- perpendicolare alla retta
2 Prerequisiti
Per capire e risolvere l’esercizio è necessario conoscere:
- l’equazione della retta (implicita ed esplicita)
- come calcolare il coefficiente angolare della retta
- come calcolare il valore di quota della retta
- il concetto di fascio di rette proprio e improprio
- come ricavare il coefficiente angolare di una retta parallela o perpendicolare a un’altra retta
3 Soluzione
3.1 Punto 1
Determiniamo l’equazione della retta del fascio passante per l’origine.
\( kx+\left(1-2k\right)y+3+k=0\)
Sostituiamo le coordinate dell’origine nell’equazione del fascio:
\( 0x +(1-2k)0+3+k=0 \)
\(0+0+3+k=0 \)
\(3+k=0 \)
\( k=-3 \)
Il valore di k per cui si ottiene l’equazione della retta del fascio passante per l’origine è \( -3 \).
3.2 Punto 2
Determiniamo l’equazione della retta del fascio parallela alla retta \( r: x=5 \).
Il coefficiente angolare della retta di equazione \( x = 5 \) è \( \infty \) e rappresenta una retta verticale. In questo caso non possiamo porre il coefficiente angolare uguale a \( \infty \), ma doppiamo porre uguale a \( 0\) il coefficiente della y nel fascio:
\( 1-2k=0 \)
da cui
\( -2k=-1 \)
quindi
\( k=\frac{1}{2} \)
Il valore di k per cui si ottiene l’equazione della retta del fascio parallela alla retta r è \( \frac{1}{2} \).
3.3 Punto 3
Determiniamo l’equazione della retta del fascio perpendicolare alla retta \( s:x+y=5 \).
Iniziamo calcolando il coefficiente angolare della retta s:
\( m_s =-\frac{a}{b}=-3 \)
Calcoliamo il coefficiente angolare del fascio è:
\(m_f=-\frac{a}{b}=-\frac{k}{1-2k} \)
Dovendo determinare una retta perpendicolare deve essere che:
\(m_f=-\frac{1}{m_s} =-\frac{1}{-3}=\frac{1}{3} \)
cioè:
\(-\frac{k}{1-2k}=\frac{1}{3} \)
\(-3k=1-2k \)
\(-3k+2k=1 \)
\(-k=1\)
\(k=-1\)
Il valore di k per cui si ottiene l’equazione della retta del fascio perpendicolare alla retta s è \( -1 \).
Come risolvere esercizio n.32 pag.177 (Matematica.verde 3G)
L’esercizio è presente anche nei seguenti libri:
- esercizio 33 pag. 254 (Matematica.blu 2.0 volume 3 con tutor)
- esercizio 32 pag. 215 (Matematica.rosso 3 con tutor)
In questo esempio di esercizio verrà mostrato come si trova il valore del parametro m della retta \( r_{AB}\) che passa per due punti A e B , parallela ad un’altra retta r.
Inoltre si calcola il perimetro del triangolo formato dalla retta \( r_{AB}\) e un punto C sull’asse delle ascisse.
1 Testo
Determina per quale valore del parametro \( m \) la retta passante per i punti \( A(m+1;2) \) e \( B(1;m) \) è parallela alla retta \( y=3x+1 \)Trova poi il perimetro del triangolo ABC con C punto di intersezione tra l’asse \( x \) e la retta \( y=x+1 \).
1 Soluzione
La retta passante per AB deve essere parallela alla retta \( r: y=3x+1
\) con \( m_r=3\).
Per la condizione di parallelismo i coefficienti angolari delle due rette
devono essere uguali:
\(
m_{AB}=m_r \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (1) \)
Determiniamo il coefficiente angolare tra i due punti:
\( m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{m-2}{1-m-1}=\frac{m-2}{-m}=-\frac{m-2}{m} \)
Per la (1), deve essere:
\( -\frac{m-2}{m}=3\)
da cui
\( -(m-2)=3m\)
\( -m+2-3m=0\)
\( -4m=-2\)
\( m=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
quindi
\( m= \frac{1}{2}\)
Determiniamo le coordinate dei punti A e B, sostituendo il valore di \(
m=\frac{1}{2} \):
\( (m+1;2)\rightarrow\left(\frac{1}{2}+1 ; 2\right)\rightarrow A\left(\frac{3}{2}
; 2\right)\)
e
\( B(1;m)\rightarrow B\left(1;\frac{1}{2}\right)\)
Determiniamo il punto di intersezione tra l’asse \( x \) e la retta data \(
y=x+1 \).
Risolvendo il seguente sistema:
\( \left \{ \begin{matrix} y=x+1 \\ y=0 \end{matrix} \right. \)
da cui:
\( x+1=0\rightarrow x=-1 \)
otteniamo le coordinate del punto \( C(-1,0)\).
Utilizzando la formula distanza
tra due punti:
\( d=\sqrt{(x_2-x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2}\)
calcoliamo i lati del triangolo:
\( AB=\sqrt{\left(1-\frac{3}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}-2\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{10}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{10}\)
\( BC=\sqrt{\left(-1-1\right)^2+\left(0-\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{4+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{17}\)
\( AC=\sqrt{\left(1-\frac{3}{2}\right)^2+\left(0-2\right)^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+4}=\sqrt{\frac{41}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{41}\)
Ora possiamo calcolare il perimetro del triangolo:
\( P=AB+BC+AC=\frac{1}{2}\sqrt{10}+\frac{1}{2}\sqrt{17}+\frac{1}{2}\sqrt{41}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{10}+\sqrt{17}+\sqrt{41}\right)\)
Come risolvere esercizio n. 27 pag. 177 (Matematica.verde 3G)
Autore: Antonio Reno;
Revisore: Andrea Zedda
L’esercizio è presente anche nei seguenti libri:
- esercizio 28 pag. 254 (Matematica.blu 2.0 volume 3 con tutor)
- esercizio 27 pag. 215 (Matematica.rosso 3 con tutor)
In questo esempio di esercizio verrà mostrato come si calcola l’equazione della retta passante per l’altezza di un triangolo nel piano cartesiano ma anche come si trova la retta passante per un vertice del triangolo e parallela a un lato del triangolo stesso.
1 Testo
Dato il triangolo di vertici A(-2,4), B(4,3) e C(2,-2), determinare:
- l’equazione della retta passante per l’altezza relativa al lato AC;
- l’equazione della retta passante per A e parallela al lato BC.
2 Soluzione
2.1 Punto 1
Utilizzando la formula della retta passante per due punti:
\( \frac{y-y_{2}}{y_{1}-y_{2}}=\frac{x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}} \)
Trovando la retta che passa per AC:
\( r_{A C}: \frac{y+2}{4+2}=\frac{x-2}{-2-2} \rightarrow \)
\( \frac{y+2}{6}=\frac{x-2}{-4} \rightarrow-4(y+2)=6(x-2) \rightarrow-4 y-8=6 x-12 \)
Quindi…
Come effettuare la rotazione della funzione seno (con codice Matlab)
Per ragionare più profondamente sul contenuto di cui sotto si faccia riferimento a quanto precedentemente discusso in “Sistema di riferimento ruotato”
Per ruotare la funzione seno si deve tenere in considerazione che essa deve mantenersi uguale a se stessa quando ruotata e quindi deve essere rigidamente ruotata. Continua a leggere Come effettuare la rotazione della funzione seno (con codice Matlab)
Come risolvere esercizio n°87 pag. 447 (3 Matematica.azzurro con Tutor, Seconda Edizione)
Testo
Determinare il valore di k affinché l’iperbole di equazione \( \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{1+k} = 1 \) sia tangente alla retta di equazione \( 4x – 9y – 6 = 0 \).
Continua a leggere Come risolvere esercizio n°87 pag. 447 (3 Matematica.azzurro con Tutor, Seconda Edizione)Significato geometrico della derivata
1. Richiami
Per poter capire il significato geometrico della derivata bisogna per prima cosa passare dal concetto di coefficiente angolare. Risulta veramente complicato capire il concetto di derivata senza avere ben chiaro cosa sia il coefficiente angolare di una retta.
Il coefficiente angolare di una retta nel piano Cartesiano è un valore che identifica la pendenza di una retta rispetto all’asse delle x (asse delle ascisse).
Il valore del coefficiente angolare è:
\( m=\frac{\Delta y}{\Delta x} \)
In cui:
è il carattere che tipicamente viene usato per identificare il coefficiente angolare di una retta
- la quantità \( \frac{\Delta y}{\Delta x}\), dati due punti \( P_1(x_1,y_1) \) e \( P_2(x_2,y_2) \) , è uguale a:
\( \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
In matematica si dice, non a caso, che il coefficiente angolare è un rapporto incrementale. Volendone capire meglio il significato si faccia riferimento alla figura seguente:
Dalla Figura 1 si può capire come il coefficiente angolare è un rapporto tra lunghezze, le quali sono i cateti del triangolo rettangolo identificati da lunghezze di \( x_2-x_1\) e \( y_2-y_1 \). Il coefficiente angolare quindi non è un angolo ma solo un rapporto di lunghezze, anche se il coefficiente angolare è indicativo di quanto la retta è pendente rispetto all’asse delle ascisse.
2 Definizione di derivata
2.1 Argomentazione iniziale
Si dice che la derivata di una funzione \( f(x) \) calcolata in un generico punto \( x_0 \) è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione \( f(x) \) nel punto \( x_0 \).
La derivata è un limite e anche essa è definita, similmente al coefficiente angolare, come un rapporto incrementale; tuttiavia stavolta c’è la piccola richiesta che tale rapporto sia infinitesimo.
2.2 Definizione formale
Sia data una funzione \( f(x) \) definita in un intorno di \( x_0 \). Si dice che \( f(x) \) è derivabile nel punto \( x_0 \) se esiste ed è finito il limite:
\( {f}'(x_0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)
In cui \( h=x-x_0 \).
2.3 Discussione
Dire che il limite che definisce la derivata è finito ed esiste equivale, dal punto di vista geometrico, ad ammettere l’esistenza di una singola retta tangente alla funzione \( f(x) \) per un valore di \( x \) pari a \( x_0 \).
Quello che succede nel calcolare il limite che definisce la derivata può essere espresso bene graficamente come in Figura 2.
I punti rossi rappresentano il comportamento proprio del limite e cioè l’avvicinarsi al valore desiderato \( x_0 \), infatti per \( {h \to 0} \) si ha che la quantità \( x_0+h \) tende a \( x_0 \). Come si può notare più il punto rosso si avvicina al punto blu più la retta si avvicina ad essere la tangente. La retta diventa tangente al limite e cioè quando il punto rosso è infinitamente vicino al punto blu.
Se la funzione nel punto \( x_0 \) non esiste allora non può esistere nemmeno la retta tangente alla funzione in quel punto.
Se la funzione nel punto \( x_0 \) si presenta come una cuspide allora la funzione non è derivabile in quel punto (il limite della derivata da destra e da sinistra è diverso, Figura 3).
Si può dunque dire che:
- Se una funzione è derivabile in un punto allora è continua
- Se una funzione è continua in un punto non necessariamente è derivabile
- Una funzione discontinua in un punto non è derivabile in quel punto
- Se una funzione non è derivabile in un punto allora può essere:
- discontinua in quel punto
- continua ma a cuspide
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