Area del triangolo delimitato da rette che incidono la circonferenza

Oggi andremo a trattare un’articolo che va a valutare l’area del triangolo delimitato da rette che incidono la circonferenza, nel nostro sito trovate tantissimi esercizi inerenti a questi argomenti, dove vi ricordiamo che potete scaricare GRATUITAMENTE la soluzione e la spiegazione di ogni esercizio in formato PDF, a fine pagina cliccando nel seguente pulsante “clicca qui per scaricare l’esercizio“, per qualsiasi tipologia di problema potete contattarci sia via email, che dalla chat del sito, i nostri operatori saranno pronti a guidarvi e aiutarvi in qualsiasi problema, bene detto questo iniziamo!

Testo

Sia data una circonferenza centrata nell’origine di raggio 10. Siano inoltre date le due rette di equazioni \(y=-x+10\) e \(y=-3x+10\).

Si trovi il modo di ricavare l’equazione della circonferenza e le coordinate di intersezione delle rette con la circonferenza. Si determini l’area del triangolo ABC definito dai due punti di intersezione della retta \(y=-3x+10\) con l’asse delle ascisse.

Soluzione

L’equazione della circonferenza sarà data dalla formula:

\((x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2\)

Quindi:

\((x-0)^2+(y-0)^2=100\)

\(x^2+y^2=100\)

Per scoprire le intersezioni con la prima retta si risolve il sistema:

\(\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=100\\y=-3x+10\end{matrix}\right.\)

Sostituendo si ha:

\(\left\{\begin{matrix}x^2+(-3x+10)^2=100\\y=-3x+10\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}x^2+9x^2-60x+100=100\\y=-3x+10\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}10x^2-60x=0\\y=-3x+10\end{matrix}\right.\)

Per cui i punti di intersezione con la retta \(y=-3x+10\) sono: \((0;10)\) e \((6;-8)\).

Per scoprire le intersezioni con la seconda retta si risolve il sistema:

\(\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=100\\y=-10+10\end{matrix}\right.\)

Sostituendo si ha:

\(\left\{\begin{matrix}x^2+(-x+10)^2=100\\y=-x+10\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}x^2+x^2-20x+100=100\\y=-x+10\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}2x^2+20x=0\\y=-x+10\end{matrix}\right.\)

Per cui i punti di intersezione con la retta \(y=-x+10\) sono \((0;10)\) e \((10;0)\).

I punti sono:

\(A(0;10)\)

\(B(10;0)\)

\(C(6;-8)\)

Per determinare il triangolo ABC basterebbe conoscere la \(x\) di intersezione delle due rette con l’asse delle ascisse.

Quindi deve essere:

\(-3x+10=0 \rightarrow x=\frac{10}{3}\)

\(-x+10=0 \rightarrow x=10\)

E allora la base \(b\) del triangolo \(ABC\) sarà:

\(b=10-\frac{10}{3}=\frac{20}{3}\)

Per concludere l’esercizio sulla circonferenza, triangolo e rette..

La sua altezza è pari a 10, come si vede dalla figura:

\(Area=\frac{10 \cdot \frac{20}{3}}{2} \approx 33.3\)

Hai problemi con i calcoli matematici e la tua calcolatrice scientifica funziona male? ti consigliamo questa:

Sharp EL-W506T

Il modello EL-W506T della nota azienda giapponese Sharp, è una calcolatrice scientifica avanzata con ben 640 funzioni matematiche e un display “WriteView” che consente di scrivere e visualizzare le frazioni e i simboli utilizzati nelle formule matematiche. Inoltre, dispone di un robusto coperchio per proteggere la calcolatrice da eventuali cadute e una zona dedicata all’energia solare per un’autonomia prolungata.