Oggi andremo a trattare un’articolo che va a valutare l’area del triangolo delimitato da rette che incidono la circonferenza, nel nostro sito trovate tantissimi esercizi inerenti a questi argomenti, dove vi ricordiamo che potete scaricare GRATUITAMENTE la soluzione e la spiegazione di ogni esercizio in formato PDF, a fine pagina cliccando nel seguente pulsante “clicca qui per scaricare l’esercizio“, per qualsiasi tipologia di problema potete contattarci sia via email, che dalla chat del sito, i nostri operatori saranno pronti a guidarvi e aiutarvi in qualsiasi problema, bene detto questo iniziamo!
Testo
Sia data una circonferenza centrata nell’origine di raggio 10. Siano inoltre date le due rette di equazioni \(y=-x+10\) e \(y=-3x+10\).
Si trovi il modo di ricavare l’equazione della circonferenza e le coordinate di intersezione delle rette con la circonferenza. Si determini l’area del triangolo ABC definito dai due punti di intersezione della retta \(y=-3x+10\) con l’asse delle ascisse.
Soluzione
L’equazione della circonferenza sarà data dalla formula:
\((x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2\)
Quindi:
\((x-0)^2+(y-0)^2=100\)
\(x^2+y^2=100\)

Per scoprire le intersezioni con la prima retta si risolve il sistema:
\(\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=100\\y=-3x+10\end{matrix}\right.\)
Sostituendo si ha:
\(\left\{\begin{matrix}x^2+(-3x+10)^2=100\\y=-3x+10\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}x^2+9x^2-60x+100=100\\y=-3x+10\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}10x^2-60x=0\\y=-3x+10\end{matrix}\right.\)

Per cui i punti di intersezione con la retta \(y=-3x+10\) sono: \((0;10)\) e \((6;-8)\).
Per scoprire le intersezioni con la seconda retta si risolve il sistema:
\(\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=100\\y=-10+10\end{matrix}\right.\)
Sostituendo si ha:
\(\left\{\begin{matrix}x^2+(-x+10)^2=100\\y=-x+10\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}x^2+x^2-20x+100=100\\y=-x+10\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}2x^2+20x=0\\y=-x+10\end{matrix}\right.\)

Per cui i punti di intersezione con la retta \(y=-x+10\) sono \((0;10)\) e \((10;0)\).
I punti sono:
\(A(0;10)\)
\(B(10;0)\)
\(C(6;-8)\)

Per determinare il triangolo ABC basterebbe conoscere la \(x\) di intersezione delle due rette con l’asse delle ascisse.
Quindi deve essere:
\(-3x+10=0 \rightarrow x=\frac{10}{3}\)
\(-x+10=0 \rightarrow x=10\)
E allora la base \(b\) del triangolo \(ABC\) sarà:
\(b=10-\frac{10}{3}=\frac{20}{3}\)
Per concludere l’esercizio sulla circonferenza, triangolo e rette..
La sua altezza è pari a 10, come si vede dalla figura:
\(Area=\frac{10 \cdot \frac{20}{3}}{2} \approx 33.3\)
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