Trova l’area del quadrilatero definito da due rette incidenti e un punto

I quadrilateri sono figure geometriche che si incontrano frequentemente nell’ambito della geometria. Tuttavia, quando le rette si intersecano in un punto, la determinazione dell’area del quadrilatero può rappresentare una sfida per molti studenti. Attraverso una serie di esercizi svolti, ti guideremo passo dopo passo nel processo di calcolo dell’area di un quadrilatero con rette incidenti e un punto specifico.

e sei uno studente che desidera padroneggiare la geometria analitica e esercizi sulla circonferenza, o un insegnante che cerca risorse per lezioni coinvolgenti, questo articolo è il posto giusto per te. Siamo qui per semplificare il processo di apprendimento, rendendo la matematica accessibile e divertente.

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Testo

Noto un punto \(P(-1;2)\) e le rette \(r_1:3y=x-3\) e \(r_2:3y=-x+15\) determina l’area del quadrilatero \(APBT\) in cui i punti \(A\) e \(B\) sono punti di intersezioni delle due rette che l’asse \(y\) e \(T\) è il punto di intersezione tra le due rette.

Soluzione

Si verifica facilmente che le rette intersecano in \(A(0;5)\) e \(B(0;-1)\).

La situazione viene rappresentata bene nella figura seguente:

Il quadrilatero richiesto è evidentemente un rombo, di cui le diagonali sono:

• La minore \(\overline{AB}\)
• La maggiore \(\overline{CT}\)

\( \overline{AB}\) è chiaramente pari a 6, mentre non sappiamo ancora dove si trova \(T\).

Per scoprirlo risolviamo il sistema:

\(\left\{\begin{matrix} y=\frac{1}{3}x-1\\y=-\frac{1}{3}x+5\end{matrix}\right.\)

Da cui si conclude subito, per somma, che \(y=2\).

Poi:

\(2=\frac{1}{3}x-1 \rightarrow x=9\)

Quindi il punto di intersezione è \((9;2)\).

Quindi \( \overline{CT}\) è chiaramente pari a 10.

L’area del rombo è quindi data da:

\(Area= \frac{Dd}{2}=\frac{\overline{CT} \cdot \overline{AB}}{2}=30\)