Trova le rette tangenti alla circonferenza

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Testo

Data la circonferenza di equazione:

\((x+1)+(y-2)^2=10\)

trovare i suoi punti di intersezione con l’asse delle ordinate e le equazioni delle rette tangenti in quei punti

Soluzione

Dobbiamo trovare le rette tangenti in \(A\) e \(B\), che rappresentano i punti di intersezione della circonferenza con l’asse delle ordinate. Per trovare \(A\) e \(B\) bisogna porre l’intersezione della circonferenza con \(x=0\), quindi:

\(\left\{\begin{matrix} (x+1)^2+(y-2)^2=10\\x=0\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} y^2-4y-5=0\\x=0\end{matrix}\right.\)

Per cui:

Quindi:

\(y_1=-1 \;\; \; ; y_2=5\)

In definitiva i punti \(A\) e \(B\) sono:

\(A(0;-1); \; \; B (0;5)\)

L’equazione della retta passante per un punto con un coefficiente angolare dato può essere scritta come:

\(y-y_0=m(x-x_0)\)

Per cui:

\(r_a:y=mx-1\)

\(r_b:y=mx+5\)

Sono le due rette cercate, di cui ancora non è noto il coefficiente angolare.

Per scoprire il coefficiente angolare si pone la condizione di tangenza.

Cominciamo con il punto \(A\):

\(\left\{\begin{matrix} (x+1)^2+(y-2)^2=10\\y=mx-1\end{matrix}\right.\)

quindi:

\(\left\{\begin{matrix} (x+1)^2+(mx-3)^2=10\\y=mx-1\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} (x^2+2x+1)+(m^2x^”-6mx+9)=10\\y=mx-1\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}(1+m^2)x^2+(2-6m)x=0\\y=mx-1\end{matrix}\right.\)

La condizione di tangenza si ha per:

\( \Delta =b^2-4ac=0\)

Quindi, visto che \(c\) è nullo si ha:

\((2-6m)^2=0 \rightarrow m = \frac{1}{3}\)

Ovvero la retta tangente alla circonferenza che passa per \(A\) è:

\(y=\frac{1}{3}x-1\)

Per trovare l’altra si ripete la procedura:

\(\left\{\begin{matrix}(x+1)^2+(y-2)^2=10\\y=mx+5\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}(x+1)^2+(mx+3)^2=10\\y=mx+5\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}(x^2+2x+1)+(m^2x^2+6mx+9)=10\\y=mx+5\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} (1+m^2)x^2+(2+6m)x=0\\y=mx+5\end{matrix}\right.\)

La condizione di tangenza si ha per:

\( \Delta =b^2-4ac=0\)

Quindi, visto che \(c\) è nullo si ha:

\((2+6m)^2 =0 \rightarrow m= -\frac{1}{3}\)

Ovvero la retta tangente alla circonferenza che passa per \(A\) è:

\(y=-\frac{1}{3}x+5\)