di: Francesco AtzeniPubblicato il:

Parabole, parametri e disequazioni di secondo grado

Dall’appartenenza di un punto alla tangente, fino allo studio del segno di una funzione.
Guida didattica con esempi svolti, figure, controlli e applicazioni autonome.

SCHEDA DELLA GUIDA
MateriaMatematicaLivelloSecondaria di II grado
AmbitoGeometria analitica e algebraDifficoltàIntermedia
ArgomentiParabole, tangenti e disequazioniDurata55–75 minuti (stima)
DestinatariStudenti di funzioni quadraticheFormatoGuida post-lezione
AutoreAndrea ZeddaStandardES Template System v2.6
Revisione8 ottobre 2026VersioneContenuto v1.2

OBIETTIVO DI APPRENDIMENTO
Al termine del percorso saprai determinare se un punto parametrizzato appartiene a una parabola, trovare una tangente usando il discriminante e interpretare una disequazione quadratica come studio del segno della funzione. Soprattutto, saprai spiegare perché il procedimento è corretto.

Come usare questa guida

Studia i due problemi leggendo prima teoria e strategia; poi rifai i calcoli senza consultare la soluzione. Le figure aiutano a verificare, non sostituiscono i passaggi.

Prerequisiti. Equazioni di secondo grado e fattorizzazione; coordinate cartesiane; equazione di una retta; grafico di una funzione quadratica; coefficiente angolare; discriminante \( \Delta =b^2-4ac\).

Mappa del percorso

Modulo 0 · Funzioni e punti → Modulo 1 · Parametri e tangenti → Modulo 2 · Radici, concavità e segno → Modulo 3 · Discriminante e casi limite → Autovalutazione.

1. Modulo introduttivo — Che cosa rappresentano le equazioni?

La scrittura \(y=f(x) \) non descrive soltanto un insieme di simboli. Associa a ogni valore ammissibile di \(x\) un valore di \(y\), quindi individua i punti \(P= (x,f(x))\) di un grafico. Se \(f\) è un polinomio di secondo grado, il grafico è una parabola con asse parallelo all’asse \(y\).

Tre domande, apparentemente diverse, possono essere ricondotte a questa stessa idea:

  • Appartenenza: per quali valori di un parametro il punto \(Q\) soddisfa \( y=f(x)\) ?
  • Tangenza quale retta incontra la parabola con molteplicità due nel punto assegnato?
  • Studio del segno: Per quali \(x\) il valore \(f(x)\) è positivo o negativo?

IDEA CHIAVE
Prima dei calcoli identifica l’oggetto matematico: un punto, una retta, una curva oppure un insieme di intervalli. Ogni procedura deve rispondere a una di queste domande.

2. Modulo 1 — Punto parametrizzato e retta tangente

2.1 Testo dell’esercizio

Si consideri la parabola di equazione

y=−2x2+3x+1y=-2x^2+3x+1

e il punto variabile

Q(k−1,2−k),k>1Q(k-1, 2-k), \; \; \; \; \; \; k>1
  1. Determinare il valore del parametro \(k\) affinché \(Q\) appartenga alla parabola.
  2. Poi determinare l’equazione della retta passante per \(Q\) e tangente alla parabola.
  3. Interpretare geometricamente il luogo dei punti descritti da \(Q\) quando \(k\) varia.

2.2 Teoria necessaria per risolvere l’esercizio

Appartenenza a una curva. Il punto \(( x_Q, y_Q)\) appartiene al grafico di \(y=f(x)\) se, e soltanto se, sostituendo la sua ascissa nell’espressione della funzione si ottiene la sua ordinata:

yQ=f(xQ)y_Q=f(x_Q)

LETTURA CONCETTUALE — La condizione di appartenenza non è una regola di sostituzione arbitraria: verifica che le due coordinate del punto rispettino una stessa relazione. L’ascissa viene usata come ingresso della funzione e l’ordinata è confrontata con il valore calcolato.

Punto parametrizzato. Nelle coordinate \((k -1,2 -k)\), la lettera \(k\) è un parametro reale, a ogni valore consentito di \(k\) corrisponde un punto. Una coppia di coordinate in funzione dello stesso parametro può descrivere un luogo geometrico.

Retta passante per un punto. Tutte le rette non verticali passanti per \(Q=(x_Q, y_Q)\)si scrivono:

y−yQ=m(x−xQ)y-y_Q=m(x-x_Q)

Dove \(m\) è il coefficiente angolare da determinare.

Tangenza e discriminante. Inserendo l’equazione della retta in quella della parabola si ottiene, in generale, un’equazione quadratica nell’ascissa \(x\). Per ottenere un’intestazione con radice doppia impone

Δx=0\Delta_x=0

Il pedice \(x\) ricorda che il discriminante è calcolato rispetto alla variabile dell’equazione di intersezione anche se i suoi coefficienti dipendono dal parametro \(m\).

TERMINI E SIGNIFICATO — Nella retta generica il coefficiente angolare modifica l’inclinazione mantenendo fisso il punto di passaggio. Nell’equazione di intersezione i coefficienti dipendono quindi dalla pendenza: imporre un discriminante nullo seleziona la retta con un contatto doppio. Il criterio si applica qui perché la curva è una parabola non degenere e la retta è non verticale.

2.3 Consigli di problem solving ed errori comuni

Strategia prima dei conti. Prima imposta la condizione di appartenenza e risolvi l’equazione in \(k\). Solo dopo sostituisci il valore consentito e individua le coordinate di \(Q\). Infine costruisci la famiglia delle rette per quel punto, , intersecala con la parabola e annulla il discriminante.

𝐄𝐫𝐫𝐨𝐫𝐞 𝐝𝐚 𝐩𝐫𝐞𝐯𝐞𝐧𝐢𝐫𝐞𝐂𝐨𝐧𝐭𝐫𝐨𝐥𝐥𝐨 𝐝𝐚 𝐞𝐬𝐞𝐠𝐮𝐢𝐫𝐞Sostituire unicamente l’ascissa di QSostituisci 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐚𝐦𝐛𝐞 le coordinate nella relazioney=f(x).Dimenticare il vincolo k>1Trova tutte le radici, poi controlla quali rispettanola consegna.Trattare k come una coordinata del puntoDistingui il parametro dalle coordinate che esso genera.Imporre Δ=0 già nella prima parteIl discriminante nullo serve per la 𝐭𝐚𝐧𝐠𝐞𝐧𝐳𝐚, non per lacondizione di appartenenza.Perdere un segno nel passaggio tra i membriRiscrivi l’intera equazione prima di individuare a,b e c.\begin{array}{|l|l|} \hline \textbf{Errore da prevenire} & \textbf{Controllo da eseguire} \\ \hline \begin{array}{l} \text{Sostituire unicamente l’ascissa di }Q \end{array} & \begin{array}{l} \text{Sostituisci }\textbf{entrambe}\text{ le coordinate nella relazione} \\ y=f(x). \end{array} \\ \hline \begin{array}{l} \text{Dimenticare il vincolo }k>1 \end{array} & \begin{array}{l} \text{Trova tutte le radici, poi controlla quali rispettano} \\ \text{la consegna.} \end{array} \\ \hline \begin{array}{l} \text{Trattare }k\text{ come una coordinata del punto} \end{array} & \begin{array}{l} \text{Distingui il parametro dalle coordinate che esso genera.} \end{array} \\ \hline \begin{array}{l} \text{Imporre }\Delta=0\text{ già nella prima parte} \end{array} & \begin{array}{l} \text{Il discriminante nullo serve per la }\textbf{tangenza}\text{, non per la} \\ \text{condizione di appartenenza.} \end{array} \\ \hline \begin{array}{l} \text{Perdere un segno nel passaggio tra i membri} \end{array} & \begin{array}{l} \text{Riscrivi l’intera equazione prima di individuare }a,b\text{ e }c. \end{array} \\ \hline \end{array}

ATTENZIONE
Una soluzione dell’equazione di appartenenza può essere matematicamente corretta ma non ammissibile per il vincolo imposto dal problema. Non confondere le due valutazioni.

2.4 Soluzione svolta passo per passo

Passo 1 — Imporre la condizione di appartenenza. Il punto ha ascissa \(x_Q=k-1\) e ordinata \(y_Q=2-k\) Pertanto:

2−k=−2(k−1)2+3(k−1)+12-k=-2(k-1)^2+3(k-1)+1

Passo 2 – Sviluppare e risolvere in \(k\). Sviluppando il quadrato e raccogliendo i termini

2−k=−2(k2−2k+1)+3k−3+1,2−k=−2k2+7k−4,−2k2+8k−6=0,k2−4k+3=0,(k−1)(k−3)=0.\begin{array}{l} 2-k=-2(k^2-2k+1)+3k-3+1, \\[4pt] 2-k=-2k^2+7k-4, \\[4pt] -2k^2+8k-6=0, \\[4pt] k^2-4k+3=0, \\[4pt] (k-1)(k-3)=0. \end{array}

Le soluzioni dell’equazione sono \(k= 1\) e \(k=3\) il vincolo \(k>1\) esclude \(k=1\), Quindi:

k=3k=3

Passo 3 – Trovare il punto richiesto. Sostituiamo il parametro ammesso:

Q=(3−1,2−3)=(2,−1)Q=(3-1,\;2-3)=(2,-1)

Il controllo per sostituzione è immediato:

f(2)=−2⋅22+3⋅2+1=−1=yQf(2)=-2\cdot2^2+3\cdot2+1=-1=y_Q

Passo 4 — Scrivere una retta passante per \(Q\). Sia in \(m\) il coefficiente angolare incognito:

y+1=m(x−2),y=mx−2m−1y+1=m(x-2),\qquad y=mx-2m-1

Riordinando:

−2x2+(3−m)x+(2m+2)=0-2x^2+(3-m)x+(2m+2)=0

L’equazione è quadratica in \(x\) con coefficienti che dipendono da \(m\)

CONTROLLO DEI CONTRIBUTI — Nell’equazione di intersezione il termine quadratico proviene dalla parabola; il coefficiente del termine lineare combina la pendenza della parabola con quella della retta; il termine noto include l’intercetta della retta. Quando si porta la retta al primo membro, entrambi i suoi termini cambiano segno.

Passo 6 — Imporre il discriminante nullo. Identifichiamo i coefficienti \( a=-2b\), \(b=3-m\) \(c=2m+2\) e calcoliamo:

Δx=(3−m)2−4(−2)(2m+2),Δx=(3−m)2+8(2m+2),Δx=m2+10m+25=(m+5)2.\begin{array}{l} \Delta_x=(3-m)^2-4(-2)(2m+2), \\[4pt] \Delta_x=(3-m)^2+8(2m+2), \\[4pt] \Delta_x=m^2+10m+25=(m+5)^2. \end{array}

La condizione di tangenza è quindi:

(m+5)2=0→m=−5(m+5)^2=0 \rightarrow m=-5

Per il passo 7 scrivere la tangenza. Sostituiamo il coefficiente angolare nella forma punto-pendenza:

y+1=−5(x−2),y=−5x+9.\begin{array}{l} y+1=-5(x-2), \\[4pt] y=-5x+9. \end{array}

2.5 Visualizzazione e interpretazione del parametro

se \(x=k-1\) e \(y=2-k\), dalla prima relazione segue \(k=x+1\) Sostituendo:

y=2−(x+1)=1−xy=2-(x+1) =1-x

Per \( k\in\mathbb{R}\) il luogo completo è dunque la retta \(y= 1-x\) con vincolo originario \(k>1\) se ne considera soltanto il tratto con \(x>0\) escludendo il punto di ascissa zero.

La retta parametrica è diversa dalla retta tangente determinata prima. La prima contiene tutti i punti generati da \(k\) la seconda è definita dalla condizione di tangenza nel punto \(Q\).

Parabole, parametri e disequazioni di secondo grado Dall’appartenenza di un punto alla tangente, fino allo studio del segno di una funzione. Guida didattica con esempi svolti, figure, controlli e applicazioni autonome.
Figura 1 La parabola, il luogo dei punti parametrizzati e la tangente nel punto selezionato.

Perché le due intersezioni contano?

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