DIAGRAMMI DI BODE

Da Laplace e Fourier alla risposta in frequenza: circuiti RC, costruzione asintotica, stabilità e margini

Idea guida
Il diagramma di Bode non è un insieme di spezzate da memorizzare. È la rappresentazione, frequenza per frequenza, di come un sistema modifica ampiezza e fase. Per capirlo davvero bisogna ricostruire la catena modello nel tempo → Laplace → funzione di trasferimento → risposta in frequenza → modulo e fase.

Scheda didattica

Campo	Contenuto
Materia	Sistemi, controlli automatici ed elettronica di base
Argomento	Risposta in frequenza e diagrammi di Bode
Livello	Scuola secondaria avanzata / introduzione universitaria
Obiettivo	Collegare modello dinamico, trasformata di Laplace, funzione di trasferimento, risposta sinusoidale, costruzione di modulo e fase, stabilità e circuito RC
Prerequisiti	Numeri complessi, derivate, integrali, equazioni differenziali lineari elementari, trasformata di Laplace a livello operativo, circuiti RC
Tipo di documento	Guida didattica post-lezione
Metodo di studio	Comprensione concettuale → formule → grafici → esempio RC → esercizi → verifica
Macro-area	Sistemi LTI, risposta in frequenza e controllo automatico
Target	Studenti della scuola secondaria superiore avanzata e dei primi corsi universitari di sistemi, controlli ed elettronica
Difficoltà	Intermedia
Tempo stimato	120–180 minuti per lo studio completo; 45–60 minuti per il ripasso guidato
Profilo ES v2.5	Guida didattica post-lezione
Versione	2.4.1

Scopo didattico
Arrivare a leggere un diagramma di Bode come conseguenza del modello del sistema, non come una procedura grafica isolata. Al termine, lo studente deve saper spiegare perché si usa la funzione di trasferimento, perché la risposta in frequenza si valuta sull’asse immaginario, come poli e zeri modificano modulo e fase e come verificare i risultati su un circuito RC.

Altre cose importanti..

Come usare questa dispensa
Prima studia la catena concettuale senza fare calcoli. Poi ricava il filtro RC passo per passo. Solo dopo passa alle regole asintotiche, ai margini e agli esercizi. Ogni regola grafica deve essere ricondotta al fattore della funzione di trasferimento che la genera.

Mappa del percorso

Dal modello nel tempo alla risposta in frequenza.
Costruzione dei diagrammi di Bode.
Circuito RC: passa-basso e passa-alto.
Collegamento con Nyquist, stabilità e margini.
Errori, uso critico dell’intelligenza artificiale, esercizi e formulario.

PARTE I — DAL MODELLO NEL TEMPO ALLA RISPOSTA IN FREQUENZA

1. La catena concettuale prima dei calcoli

Un sistema fisico viene prima descritto nel dominio del tempo. In molti casi il modello contiene equazioni differenziali, che sono corrette ma poco pratiche quando si vogliono confrontare molte frequenze o ricavare rapidamente il rapporto tra ingresso e uscita.

La trasformata di Laplace..

Porta il problema in un dominio complesso nel quale derivate e integrali diventano operazioni algebriche. Con condizioni iniziali nulle si può quindi costruire la funzione di trasferimento. Per studiare la risposta sinusoidale permanente, la funzione viene poi valutata lungo l’asse immaginario. Il diagramma di Bode rappresenta infine il modulo in decibel e la fase al variare della frequenza.

Idea da ricordare
Bode non sostituisce Laplace. Usa la funzione di trasferimento ottenuta nel dominio di Laplace e ne osserva il comportamento nella risposta sinusoidale.

2. Sistemi lineari, tempo-invarianti e stabili

2.1 Linearità

Un sistema è lineare se soddisfa il principio di sovrapposizione. Indichiamo l’operatore del sistema con il simbolo seguente.

Lettura concettuale — \( \mathcal{F} \) non è un numero ma il modo astratto di rappresentare il sistema: indica la trasformazione che il sistema applica a qualunque ingresso per produrre un’uscita.
Termini e significato — \( \mathcal{F} \) è il sistema visto come operatore; il punto tra parentesi è un segnaposto e significa «qui può entrare un segnale qualsiasi». Non descrive ancora un ingresso specifico: descrive la regola generale di trasformazione.

\mathcal{F}\{\cdot\}

Se..

Due ingressi producono due uscite, allora ogni combinazione lineare degli ingressi deve produrre la stessa combinazione lineare delle uscite.

\mathcal{F}\{a\,u_1(t)+b\,u_2(t)\}=a\,\mathcal{F}\{u_1(t)\}+b\,\mathcal{F}\{u_2(t)\}

\begin{array}{l} \textbf{Lettura concettuale —} \\[4pt] \text{Questa relazione è il cuore della linearità: se si sommano o si pesano} \\ \text{due ingressi prima di entrare nel sistema, si ottiene lo stesso risultato} \\ \text{che si avrebbe elaborandoli separatamente e sommando poi le due risposte} \\ \text{con gli stessi pesi.} \end{array}

\begin{array}{l} \textbf{Termini e significato —} \\[4pt] u_1(t)\text{ e }u_2(t)\text{ sono due ingressi diversi; }a\text{ e }b \\ \text{dicono quanto pesa ciascun ingresso; }\mathcal{F}\{\cdot\}\text{ è l’azione del sistema;} \\ \mathcal{F}\{u_1(t)\}\text{ e }\mathcal{F}\{u_2(t)\}\text{ sono le due risposte separate.} \\ \text{L’uguaglianza esprime che il sistema non crea interazioni nuove} \\ \text{tra i due contributi.} \end{array}

Impiegando un ritardo temporale si richiede quindi:

\mathcal{F}\{u(t-t_0)\}=y(t-t_0)

\begin{array}{l} \textbf{Lettura concettuale —} \\[4pt] \text{L’invarianza nel tempo significa che spostare l’ingresso di una certa quantità} \\ \text{di tempo non modifica la dinamica: sposta soltanto la risposta della stessa quantità.} \\[8pt] \textbf{Termini e significato —} \\[4pt] t_0\text{ è il ritardo applicato; }u(t-t_0)\text{ è lo stesso ingresso visto più tardi;} \\ y(t-t_0)\text{ è la stessa uscita spostata.} \\ \text{Il sistema non cambia le proprie regole solo perché l’esperimento} \\ \text{inizia in un altro istante.} \end{array}

L’invarianza nel tempo è un modello. Componenti che si scaldano, invecchiano o cambiano parametri possono violarla; in pratica si assume spesso che il sistema sia approssimativamente tempo-invariante nell’intervallo operativo considerato.

2.3 Stabilità BIBO

La stabilità BIBO significa che ogni ingresso limitato produce un’uscita limitata.

|y(t)|\leq M_y<\infty

\begin{array}{l} \textbf{Lettura concettuale —} \\[4pt] \text{Questa è la seconda metà della stabilità BIBO: se l’ingresso resta entro un limite finito,} \\ \text{anche l’uscita deve restare entro un limite finito.} \\[8pt] \textbf{Termini e significato —} \\[4pt] y(t)\text{ è l’uscita; }|y(t)|\text{ è la sua ampiezza; }M_y\text{ è un limite finito.} \\ \text{BIBO non richiede che l’uscita sia piccola, ma che non diverga} \\ \text{quando l’ingresso è limitato.} \end{array}

Per sistemi continui razionali e in condizioni standard di realizzazione minima, la stabilità BIBO richiede poli nel semipiano sinistro aperto.

\operatorname{Re}(p_k)<0 \qquad \text{per ogni polo}

\begin{array}{l} \textbf{Lettura concettuale —} \\[4pt] \text{Richiedere una parte reale negativa per ogni polo significa chiedere che i modi naturali} \\ \text{del sistema decadano anziché crescere nel tempo.} \\[8pt] \textbf{Termini e significato —} \\[4pt] p_k\text{ è il }k\text{-esimo polo; }\operatorname{Re}\{p_k\}\text{ è la sua componente reale,} \\ \text{quella che governa crescita o decadimento esponenziale; il segno negativo indica decadimento.} \\ \text{«Per ogni polo» significa che basta un polo non conforme per perdere} \\ \text{questa condizione di stabilità.} \end{array}

Questa condizione garantisce che i modi naturali associati ai poli decadano nel tempo, nelle ipotesi indicate.

Precisione importante
Linearità, invarianza nel tempo e stabilità sono proprietà differenti. Un sistema può essere lineare e tempo-invariante ma instabile. La stabilità è essenziale quando si vuole interpretare la risposta in frequenza come regime sinusoidale permanente dopo l’esaurimento dei transitori.

3. Perché entra in gioco la trasformata di Laplace

La variabile di Laplace è complessa. La sua decomposizione separa una parte reale, collegata a crescita o decadimento, e una parte immaginaria, collegata all’oscillazione.

s=\sigma+j\omega

\begin{array}{l} \textbf{Lettura concettuale —} \\[4pt] \text{La variabile di Laplace combina in un solo oggetto due comportamenti:} \\ \text{quanto un modo cresce o decade e quanto oscilla.} \\[8pt] \textbf{Termini e significato —} \\[4pt] s\text{ è la frequenza complessa; }\sigma\text{ è la parte reale e controlla l’inviluppo esponenziale;} \\ j\text{ è l’unità immaginaria; }\omega\text{ è la pulsazione e controlla la velocità dell’oscillazione.} \\ \text{Sull’asse immaginario si pone }\sigma=0\text{ e resta soltanto la parte oscillatoria.} \end{array}

L’esponenziale complesso associato si fattorizza nel modo seguente.

e^{st}=e^{\sigma t}e^{j\omega t}

\begin{array}{l} \textbf{Lettura concettuale —} \\[4pt] \text{L’esponenziale complesso viene separato in un fattore che modifica l’ampiezza nel tempo} \\ \text{e un fattore che descrive la rotazione/oscillazione. Questo rende visibile perché Laplace} \\ \text{descrive contemporaneamente transitori e sinusoidi.} \\[8pt] \textbf{Termini e significato —} \\[4pt] e^{st}\text{ è il modo complesso completo; }e^{\sigma t}\text{ è l’inviluppo che cresce o decade;} \\ e^{j\omega t}\text{ è la parte puramente oscillatoria; }t\text{ è il tempo.} \\ \text{Il prodotto dice che i due effetti avvengono contemporaneamente.} \end{array}

Il primo fattore descrive un inviluppo esponenziale. Il secondo descrive una rotazione nel piano complesso e quindi, tramite la formula di Eulero, una sinusoide

e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)

\begin{array}{l} \textbf{Lettura concettuale —} \\[4pt] \text{La formula di Eulero mostra che la rotazione complessa è equivalente a due oscillazioni reali} \\ \text{ortogonali, coseno e seno. È il ponte tra numeri complessi e segnali sinusoidali.} \\[8pt] \textbf{Termini e significato —} \\[4pt] e^{j\omega t}\text{ è la rappresentazione complessa dell’oscillazione;} \\ \cos(\omega t)\text{ è la componente reale; }j\sin(\omega t)\text{ è la componente immaginaria;} \\ \omega t\text{ è la fase accumulata nel tempo.} \end{array}

Diagrammi di Bode — Figura 1 — Piano complesso di Laplace. L’analisi sinusoidale viene effettuata lungo l’asse immaginario.

3.1 Regole operative di Laplace utili qui

Per la derivata prima vale la relazione seguente.

\mathcal{L}\left\{\frac{df(t)}{dt}\right\}=sF(s)-f(0^-)

\begin{array}{l} \textbf{Lettura concettuale —} \\[4pt] \text{Integrare nel tempo diventa dividere per }s\text{ nel dominio di Laplace. L’integrale,} \\ \text{che accumula il segnale nel tempo, corrisponde quindi a un fattore che attenua} \\ \text{le componenti ad alta frequenza.} \\[8pt] \textbf{Termini e significato —} \\[4pt] f(t)\text{ è il segnale che viene accumulato; }\tau\text{ è la variabile interna di integrazione;} \\ F(s)\text{ è la trasformata del segnale; }\frac{1}{s}\text{ rappresenta l’azione integrativa} \\ \text{nel dominio di Laplace.} \end{array}

Quando si ricava una funzione di trasferimento si assumono condizioni iniziali nulle, così il rapporto ingresso–uscita descrive il sistema e non la particolare energia già immagazzinata prima dell’esperimento.

4. Funzione di trasferimento

Per un sistema a un ingresso e una uscita, lineare e tempo-invariante, con condizioni iniziali nulle, la funzione di trasferimento è il rapporto tra trasformata dell’uscita e trasformata dell’ingresso.

H(S)=\frac{Y(s)}{U(s)}

\begin{array}{l} \textbf{Lettura concettuale —} \\[4pt] \text{La funzione di trasferimento misura come il sistema trasforma l’ingresso nell’uscita} \\ \text{nel dominio di Laplace, separando la dinamica del sistema dalla particolare forma} \\ \text{temporale del segnale applicato.} \\[8pt] \textbf{Termini e significato —} \\[4pt] H(s)\text{ è la funzione di trasferimento; }Y(s)\text{ è la trasformata dell’uscita;} \\ U(s)\text{ è la trasformata dell’ingresso. Il rapporto }\frac{Y(s)}{U(s)} \\ \text{indica quanto il sistema amplifica, attenua e sfasa le componenti descritte da }s, \\ \text{assumendo condizioni iniziali nulle.} \end{array}

Il rapporto non è tra i segnali nel dominio del tempo: è tra le loro trasformate nel dominio di Laplace.

4.1 Collegamento con lo spazio di stato

Consideriamo il modello di stato lineare seguente.

\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)

\begin{array}{l} \textbf{Lettura concettuale —} \\[4pt] \text{L’equazione di stato dice che la velocità con cui cambia lo stato interno dipende da due cause:} \\ \text{ciò che il sistema sta già facendo e ciò che gli imponiamo dall’esterno.} \\[8pt] \textbf{Termini e significato —} \\[4pt] x(t)\text{ raccoglie le variabili interne che descrivono lo stato;} \\ \dot{x}(t)\text{ è la loro variazione nel tempo;} \\ A\text{ descrive la dinamica interna e le interazioni tra stati;} \\ B\text{ descrive come l’ingresso }u(t)\text{ agisce sugli stati.} \end{array}

La prima relazione descrive l’evoluzione dello stato. L’uscita del sistema viene invece definita dalla relazione seguente.

y(t)=Cx(t)+Du(t)

\begin{array}{l} \textbf{Lettura concettuale —} \\[4pt] \text{L’uscita viene costruita leggendo una parte dello stato interno e, se presente,} \\ \text{aggiungendo un contributo diretto dell’ingresso.} \\[8pt] \textbf{Termini e significato —} \\[4pt] y(t)\text{ è l’uscita osservata;} \\ C\text{ stabilisce come gli stati }x(t)\text{ vengono combinati nell’uscita;} \\ D\text{ rappresenta un eventuale passaggio diretto ingresso-uscita;} \\ u(t)\text{ è l’ingresso.} \end{array}

Con stato iniziale nullo, la funzione di trasferimento è:

H(s)=C(sI-A)^{-1}B+D

\begin{array}{l} \textbf{Lettura concettuale —} \\[4pt] \text{Questa relazione elimina matematicamente lo stato interno e produce direttamente} \\ \text{la dinamica ingresso-uscita. Il termine inverso contiene la dinamica interna del sistema,} \\ \text{mentre }D\text{ rappresenta l’eventuale collegamento diretto.} \\[8pt] \textbf{Termini e significato —} \\[4pt] C\text{ legge gli stati;} \\ (sI-A)^{-1}\text{ descrive come la dinamica interna reagisce nel dominio di Laplace;} \\ B\text{ porta l’ingresso dentro lo stato;} \\ D\text{ è il percorso diretto;} \\ I\text{ è la matrice identità;} \\ s\text{ sposta l’analisi lungo il piano complesso.} \end{array}

Questa relazione collega direttamente le matrici del modello di stato alla descrizione ingresso–uscita usata nell’analisi in frequenza.

4.2 Poli e zeri

Una funzione razionale può essere scritta, a meno di un guadagno costante, come rapporto tra fattori associati a zeri e poli.

H(s)=K\,\frac{\prod_i(s-z_i)}{\prod_k(s-p_k)}

\begin{array}{l} \textbf{Lettura concettuale —} \\[4pt] \text{Scrivere }H(s)\text{ come prodotto di fattori rende visibile da dove nasce ogni caratteristica del Bode:} \\ \text{il guadagno globale, gli zeri che aumentano la risposta e i poli che la riducono o introducono dinamiche.} \\[8pt] \textbf{Termini e significato —} \\[4pt] K\text{ è il guadagno complessivo;} \\ z_i\text{ sono gli zeri, cioè valori di }s\text{ che annullano il numeratore;} \\ p_k\text{ sono i poli, cioè valori che annullano il denominatore;} \\ \text{i prodotti indicano che ogni polo e ogni zero contribuisce moltiplicativamente alla risposta totale.} \end{array}

Gli zeri annullano il numeratore. I poli annullano il denominatore e sono collegati ai modi dinamici del sistema.

Errore frequente
Il polo di un filtro RC passa-basso non è la stessa cosa della pulsazione di taglio. Il polo è un punto del piano complesso con parte reale negativa; la pulsazione di taglio è una quantità reale positiva.

Per il filtro RC del primo ordine, il polo è:

p=-\frac{1}{RC}

\begin{array}{l} \textbf{Lettura concettuale —} \\[4pt] \text{Il polo del filtro RC identifica il modo naturale con cui il circuito scarica la propria energia:} \\ \text{è un punto reale negativo e quindi descrive un transitorio che decade.} \\[8pt] \textbf{Termini e significato —} \\[4pt] p\text{ è il polo;} \\ R\text{ è la resistenza;} \\ C\text{ è la capacità;} \\ RC\text{ è la costante di tempo del circuito;} \\ \text{il segno meno colloca il polo nel semipiano sinistro e quindi esprime decadimento.} \end{array}

Nel primo ordine RC il polo e la pulsazione di taglio hanno lo stesso valore assoluto, ma restano oggetti concettualmente distinti.

5. Dalla funzione di trasferimento alla risposta in frequenza

Consideriamo un ingresso sinusoidale di ampiezza e fase assegnate.

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Diagrammi di Bode

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4. Funzione di trasferimento

4.1 Collegamento con lo spazio di stato

4.2 Poli e zeri

5. Dalla funzione di trasferimento alla risposta in frequenza

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