SISTEMI DINAMICI LINEARI - La soluzione per gli studenti

Stato, ingresso, uscita, soluzione, raggiungibilità, osservabilità e decomposizione di Kalman

GUIDA DIDATTICA POST-LEZIONE

Dalla rappresentazione nello spazio di stato alle proprietà strutturali del modello

Obiettivo della guida Comprendere prima il significato fisico, geometrico e informativo; usare poi matrici, rango e cambi di coordinate come strumenti di verifica rigorosa.

1.1 Scheda didattica

Campo	Contenuto
Disciplina	Teoria dei sistemi e controlli automatici
Macro-area	Sistemi dinamici lineari nello spazio di stato
Livello	Università — corso introduttivo/intermedio
Target	Studentessa che sta consolidando notazione, significato geometrico e criteri di rango
Tempo di studio	Quattro-sei ore, suddivise in sessioni
Tipo di materiale	Dispensa post-lezione con esempi, esercizi e soluzioni ragionate
Stato della release	CANONICAL RELEASE — profilo guida didattica ES v2.5

Questa dispensa ricostruisce il percorso concettuale dalla definizione di stato fino alla decomposizione completa di Kalman. La priorità è distinguere sempre il sistema fisico dal modello, la matrice dal sottospazio e il calcolo dal significato ingegneristico.

Quindi..

Obiettivi di apprendimento Interpretare stato, ingresso e uscita e controllare le dimensioni delle matrici del modello. Spiegare il ruolo della matrice esponenziale e distinguere movimento libero e forzato. Costruire e interpretare le matrici di raggiungibilità e osservabilità. Distinguere immagine, nucleo, rango e sottospazi strutturali. Applicare cambi di coordinate dichiarando la convenzione utilizzata. Interpretare gli zeri strutturali nelle decomposizioni raggiungibile e osservabile. Collegare decomposizione di Kalman, funzione di trasferimento e realizzazione minima.

Prerequisiti Operazioni con matrici e vettori. Sistemi lineari, rango, immagine e nucleo. Autovalori e autovettori. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Concetto di ingresso, misura e condizione iniziale.

Come usare la dispensa Leggi prima il significato concettuale e soltanto dopo le formule. Ricostruisci a mano le dimensioni di ogni prodotto matriciale. Ripeti gli esempi senza guardare il risultato finale. Rispondi alle domande concettuali prima degli esercizi numerici. Confronta le tue soluzioni con la sezione ragionata soltanto alla fine. Usa la sezione dedicata a ChatGPT come protocollo di controllo, non come scorciatoia.

Parte	Domanda centrale
Fondamenti	Come si rappresenta un sistema dinamico nello spazio di stato?
Raggiungibilità	Quali direzioni possono essere generate dagli attuatori?
Cambi di coordinate	Come si separano le componenti raggiungibili e non raggiungibili?
Osservabilità	Quali stati possono essere ricostruiti dalle misure?
Realizzazione e criteri avanzati	Quali dinamiche sono visibili nel comportamento ingresso-uscita?
Consolidamento	Come si applicano i criteri evitando errori di notazione e interpretazione?

1.2 Indice della guida

I — Fondamenti del modello nello spazio di stato

1. Sistema, ambiente e modello
2. Stato, ingresso e uscita
3. Il modello lineare nello spazio di stato
4. Soluzione dell’equazione di stato e matrice di transizione
5. Notazione delle funzioni e significato delle barre

II — Raggiungibilità e controllabilità

6. Raggiungibilità: definizione e significato geometrico
7. Immagine, rango e matrice di raggiungibilità
8. Perché basta un numero finito di propagazioni: teorema di Cayley-Hamilton
9. Derivazione in tempo discreto
10. Raggiungibilità e controllabilità

III — Cambi di coordinate e decomposizione raggiungibile

11. Autovalori, autovettori e cambi di coordinate
12. Esempio svolto: una sola direzione raggiungibile
13. Decomposizione raggiungibile e non raggiungibile
14. Retroazione, poli non raggiungibili e stabilizzabilità
15. Esempio svolto: circuito a due stati

IV — Osservabilità e decomposizione di Kalman

16. Osservabilità: che cosa possiamo ricostruire?
17. Sottospazio non osservabile e sottospazio osservabile
18. Matrice di osservabilità e criterio di rango
19. Esempi di osservabilità
20. Decomposizione osservabile e non osservabile
21. Dualità tra raggiungibilità e osservabilità
22. Decomposizione completa di Kalman

V — Realizzazione, criteri avanzati e decisione ingegneristica

23. Funzione di trasferimento e realizzazione minima
24. Strumenti equivalenti avanzati: Gramiani e criterio PBH
25. Dal modello alla decisione ingegneristica

VI — Consolidamento, esercizi e sintesi

26. Errori di notazione e ragionamento da evitare
27. Procedura operativa per gli esercizi
Come usare ChatGPT per studiare i sistemi dinamici lineari passo dopo passo.
28. Esercizi di verifica
29. Soluzioni ragionate
30. Mappa mentale e glossario finale

Riferimenti didattici

2 PARTE I — Fondamenti del modello nello spazio di stato

Domanda guida Come si descrive un sistema dinamico distinguendo realtà, modello, stato, ingresso, uscita e propagazione temporale?

2.1 1. Sistema, ambiente e modello

Idea intuitiva. Un sistema è la parte della realtà che decidiamo di isolare concettualmente per studiarne il comportamento. Il confine del sistema non è dato una volta per tutte: dipende dalla domanda ingegneristica.

Idea formale. Un modello associa condizioni interne e segnali esterni a un’evoluzione temporale e a determinate uscite. Il modello non coincide con la realtà: è una rappresentazione selettiva costruita per previsione, controllo, diagnosi o progettazione.

Il sistema fisico è l’oggetto reale.
Il modello è l’insieme di variabili, ipotesi ed equazioni impiegate per descriverlo.
La bontà del modello dipende dallo scopo: un modello può essere utile pur non rappresentando ogni dettaglio.
Ciò che resta fuori dal confine viene trattato come ambiente, disturbo o fenomeno trascurato.

Principio di falsificabilità Se le previsioni del modello sono sistematicamente contraddette dalle misure, occorre rivedere variabili, parametri, ipotesi o struttura. Non si corregge il modello forzando i dati a coincidere con esso.

2.2 2. Stato, ingresso e uscita

2.2.1 2.1 Il vettore di stato

Lo stato raccoglie le variabili interne necessarie a determinare l’evoluzione futura del modello. Nel formalismo classico, conoscere lo stato all’istante iniziale e l’intera storia futura dell’ingresso è sufficiente a determinare sia la traiettoria interna sia l’uscita.

\mathbf{x}(t)= \begin{bmatrix} x_1(t)\\ x_2(t)\\ \vdots\\ x_n(t) \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^n

La dimensione del vettore di stato coincide con il numero di variabili interne considerate dal modello.
Ogni elemento del vettore di stato rappresenta una singola variabile interna dipendente dal tempo.
Lo stato può essere parzialmente o totalmente non misurabile direttamente.
Il vettore di stato dipende dal modello e dallo scopo, non soltanto dall’oggetto fisico.

Correzione terminologica La variabile indipendente è normalmente il tempo. Stato, ingresso e uscita sono funzioni del tempo; lo stato non è una “variabile indipendente” nel senso usato nella regressione.

2.2.2 2.2 Il vettore di ingresso

L’ingresso è il segnale esterno che agisce sul sistema. Nei problemi di controllo è il comando disponibile: tensione, forza, coppia, portata, potenza termica, comando di un attuatore.

\mathbf{u}(t)= \begin{bmatrix} u_1(t)\\ u_2(t)\\ \vdots\\ u_m(t) \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^m

La dimensione del vettore di ingresso coincide con il numero di canali di comando indipendenti.
Un ingresso può essere scelto dal controllore oppure essere un segnale esterno noto.
I disturbi non controllabili possono essere modellati con un vettore separato.

2.2.3 2.3 Il vettore di uscita

L’uscita è ciò che il modello rende disponibile come misura o risultato. Può coincidere con alcune componenti dello stato, essere una combinazione di stati o contenere un contributo diretto dell’ingresso.

\mathbf{y}(t)= \begin{bmatrix} y_1(t)\\ y_2(t)\\ \vdots\\ y_p(t) \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^p

2.3 3. Il modello lineare nello spazio di stato

\begin{array}{l} \dot{\mathbf{x}}(t)=A\mathbf{x}(t)+B\mathbf{u}(t) \\[4pt] \mathbf{y}(t)=C\mathbf{x}(t)+D\mathbf{u}(t) \end{array}

Elemento	Dimensione concettuale	Ruolo
Vettore di stato	numero di stati per una colonna	descrive la configurazione interna
Vettore di ingresso	numero di ingressi per una colonna	raccoglie i segnali di comando
Vettore di uscita	numero di uscite per una colonna	raccoglie le misure o i risultati
Matrice dinamica	numero di stati per numero di stati	trasforma lo stato nella sua derivata
Matrice di ingresso	numero di stati per numero di ingressi	trasforma il comando nella derivata dello stato
Matrice di uscita	numero di uscite per numero di stati	trasforma lo stato nella misura
Matrice di attraversamento diretto	numero di uscite per numero di ingressi	descrive l’effetto immediato del comando sull’uscita

Controllo dimensionale I due termini sommati nell’equazione di stato devono produrre entrambi un vettore con tante componenti quanti sono gli stati. La verifica matriciale è riportata subito sotto.

(n\times n)(n\times 1)+(n\times m)(m\times 1)=n\times 1

2.3.1 3.1 Una riga matriciale contiene più equazioni

Consideriamo un modello con tre variabili di stato e due canali di ingresso. La forma matriciale compatta equivale alle tre equazioni differenziali seguenti:

\begin{array}{l} \dot{x}_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+b_{11}u_1+b_{12}u_2 \\[4pt] \dot{x}_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+b_{21}u_1+b_{22}u_2 \\[4pt] \dot{x}_3=a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+b_{31}u_1+b_{32}u_2 \end{array}

Il numero di equazioni dinamiche coincide con il numero di componenti dello stato. Il numero dei canali di ingresso può essere minore, uguale o maggiore del numero degli stati.

2.3.2 3.2 Linearità e tempo-invarianza

Linearità significa sovrapposizione: combinazioni lineari di condizioni iniziali e ingressi producono le corrispondenti combinazioni lineari delle risposte. Tempo-invarianza significa che le matrici della dinamica, dell’ingresso, dell’uscita e dell’attraversamento diretto non cambiano con l’istante assoluto: traslare l’ingresso nel tempo trasla la risposta senza modificarne la forma.

Assunzione del modello Molti sistemi reali sono non lineari. Un modello lineare tempo-invariante può essere esatto oppure rappresentare una linearizzazione locale attorno a un punto di funzionamento.

2.4 4. Soluzione dell’equazione di stato e matrice di transizione

Consideriamo il modello dinamico con stato iniziale assegnato. La soluzione completa è costituita da un termine libero e da un termine forzato:

\mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{x}_0+\int_{0}^{t}e^{A(t-\tau)}B\mathbf{u}(\tau)\,d\tau

Termine	Nome	Significato
Propagazione dello stato iniziale	movimento libero	evoluzione dovuta alla condizione iniziale quando il comando è nullo
Integrale del contributo di ingresso	movimento forzato	somma degli effetti prodotti dal comando lungo il tempo

2.4.1 4.1 Perché compare la matrice esponenziale

Nel caso scalare omogeneo la soluzione ha andamento esponenziale. La matrice esponenziale generalizza lo stesso meccanismo ai sistemi con più variabili di stato:

\begin{array}{l} e^{At}=I+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\frac{A^3t^3}{3!}+\cdots \\[6pt] \frac{d}{dt}e^{At}=Ae^{At} \end{array}

La matrice esponenziale soddisfa sia l’equazione differenziale omogenea sia la condizione iniziale. Per questo rappresenta l’operatore naturale di propagazione del moto libero.

2.4.2 4.2 Significato della matrice di transizione

Negli Appunti DID la matrice di transizione viene indicata mediante un simbolo dedicato. Per un sistema lineare tempo-invariante continuo vale la relazione seguente:

L(t)=e^{At}

La matrice di transizione prende lo stato iniziale e lo propaga nel tempo in assenza del contributo forzato:

\mathbf{x}_L(t)=L(t)\mathbf{x}(0)

2.4.3 4.3 Perché la propagazione dipende dal tempo trascorso

Un valore dell’ingresso applicato a un certo istante viene trasformato dalla matrice di ingresso in una variazione nello spazio degli stati. Tale variazione evolve poi attraverso la dinamica per tutto il tempo residuo. L’integrale somma i contributi infinitesimi prodotti dall’istante iniziale fino all’istante di osservazione.

\mathbf{u}(\tau)\rightarrow B\mathbf{u}(\tau)\rightarrow e^{A(t-\tau)}B\mathbf{u}(\tau)\rightarrow\text{integrazione rispetto a }\tau

2.4.4 4.4 Verifica diretta della soluzione

Per verificare il termine forzato consideriamo condizioni iniziali nulle e applichiamo la regola di Leibniz all’integrale della soluzione:

\begin{array}{l} \dot{\mathbf{x}}(t)=B\mathbf{u}(t)+\displaystyle\int_{0}^{t}Ae^{A(t-\tau)}B\mathbf{u}(\tau)\,d\tau \\[6pt] \dot{\mathbf{x}}(t)=B\mathbf{u}(t)+A\mathbf{x}(t) \end{array}

La funzione ottenuta soddisfa sia l’equazione differenziale sia la condizione iniziale nulla. Per unicità, coincide quindi con la soluzione cercata.

2.5 5. Notazione delle funzioni e significato delle barre

1.1.1 5.1 Valore istantaneo e funzione completa

\begin{array}{l} u(t)=\text{valore dell’ingresso al singolo istante }t \\[6pt] u(\cdot)=\text{intera funzione temporale }u:[0,T]\rightarrow\mathbb{R}^m \end{array}

Quando la definizione afferma che esiste un ingresso, l’incognita è un’intera funzione temporale di comando, non un singolo valore istantaneo.

2.5.2 5.2 Significato della barra

Una barra non indica qui media statistica. Serve a designare un oggetto particolare scelto nella definizione:

Oggetto concettuale	Lettura
Stato obiettivo	stato specifico che si vuole raggiungere
Tempo finale	istante specifico in cui il raggiungimento si realizza
Controllo specifico	funzione di ingresso che realizza il trasferimento

\bar{x}\ \text{raggiungibile}\quad\Longleftrightarrow\quad \exists\,\bar{t}>0,\ \exists\,\bar{u}(\cdot):\ \mathbf{x}_{\bar{u}}(\bar{t})=\bar{x}

PARTE II – Raggiungibilità e controllabilità

Domanda guida Quali direzioni dello spazio degli stati possono essere generate dagli attuatori disponibili?

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Angoli tra due vettori nello spazio

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