Test chi quadrato di bontà dell’adattamento è uno degli strumenti fondamentali della statistica inferenziale per confrontare frequenze osservate e frequenze attese all’interno di una variabile categoriale. In questo articolo viene mostrata una parte dell’esercizio svolto dedicato al calcolo della statistica χ², alla determinazione dei gradi di libertà, al p-value e alla valutazione dell’effect size tramite Cohen’s w. Il contenuto chiarisce la differenza tra test di bontà dell’adattamento e test di indipendenza, evidenziando le condizioni di applicabilità, l’importanza delle frequenze attese e l’interpretazione dei residui standardizzati. L’approccio è strutturato e didattico, pensato per studenti che cercano un esercizio svolto sul test chi quadrato con spiegazione chiara, sviluppo passo per passo e rigore metodologico.
1 Testo dell’esercizio
In uno studio quantitativo sono state classificate 123 osservazioni in 12 categorie tematiche. Le frequenze osservate sono riportate nella tabella seguente:
| Categoria | Frequenza osservata |
| Categoria A | 6 |
| Categoria B | 17 |
| Categoria C | 5 |
| Categoria D | 17 |
| Categoria E | 19 |
| Categoria F | 10 |
| Categoria G | 4 |
| Categoria H | 3 |
| Categoria I | 21 |
| Categoria J | 3 |
| Categoria K | 16 |
| Categoria L | 2 |
Si vuole verificare se le osservazioni siano distribuite uniformemente tra le 12 categorie oppure se la distribuzione osservata si discosti in modo significativo da quella uniforme.
Inoltre, si vuole calcolare una misura dell’intensità dello scostamento e individuare quali categorie contribuiscono maggiormente alla differenza complessiva.
2 Teoria necessaria per risolvere l’esercizio
Il problema richiede un test chi-quadrato di bontà dell’adattamento, o chi-square goodness-of-fit test.
Questo test si usa quando si vuole confrontare una distribuzione osservata con una distribuzione teorica attesa.
In questo caso la variabile è categoriale e presenta:
\(k=12\)
L’ipotesi nulla afferma che le osservazioni siano distribuite uniformemente tra le categorie:
\(H_0: \; p_1= p_2 = \dots= p_{12}= \frac{1}{12}\)
L’ipotesi alternativa afferma che almeno una categoria abbia una probabilità diversa da quella prevista dalla distribuzione uniforme:
\( H_1: \; almeno \; una \; p_i \cancel{=} \frac{1}{12}\)
Il totale osservato è:
\(N=123\)
Se la distribuzione fosse uniforme, ogni categoria avrebbe frequenza attesa:
\( E_i= \frac{N}{k}\)
Quindi:
\( E_i= \frac{123}{12}=10.25 \)
La statistica del test è:
\( \chi^2= \sum_{i=1}^{k} \frac{(0_i-E_i)^2}{E_i}\)
Dove:
- \(0_i\) è la frequenza osservata nella categoria \(i\);
- \(E_i\) è la frequenza attesa nella categoria \(i\);
- \(k\) è il numero di categorie.
I gradi di libertà sono:
\(df= k-1\)
Nel nostro caso:
\(df=12-1=11\)
Per misurare l’intensità dello scostamento in un test di goodness-of-fit si può usare Cohen’s w:
Le soglie interpretative più comuni sono:
| Cohen’s \(w\) | Interpretazione |
| 0.10 | effetto piccolo |
| 0.30 | effetto medio |
| 0.50 | effetto grande |
3 Consigli di problem solving per quanto riguarda il test chi quadrato ed errori comuni
Il primo passo è capire se il problema riguarda una sola variabile categoriale o due variabili categoriali.
In questo caso abbiamo una sola variabile:
Quindi il test corretto è il chi-quadrato di bontà dell’adattamento.
Non bisogna usare un test chi-quadrato di indipendenza, perché non stiamo studiando l’associazione tra due variabili.
Gli errori più comuni sono:
1. Usare il test di indipendenza al posto del goodness-of-fit
Il test di indipendenza serve quando si hanno due variabili categoriali, per esempio genere e preferenza, gruppo e risposta, trattamento ed esito. Qui invece si confrontano frequenze osservate e frequenze teoriche su una sola variabile.
2. Calcolare male le frequenze attese
Se l’ipotesi nulla è l’uniformità, ogni categoria ha la stessa frequenza attesa:
\(E_i= \frac{N}{k}\)
3. Confondere significatività globale e singole categorie
Il test chi-quadrato dice se la distribuzione complessiva differisce da quella attesa. Non dimostra automaticamente che ogni singola categoria sia significativa.
4. Usare un effect size non adatto
Nel goodness-of-fit a una variabile si usa Cohen’s 
. Misure pensate per tabelle di contingenza, come il V di Cramer, non sono la scelta corretta in questo contesto.
5. Interpretare i residui senza cautela
I residui aiutano a capire quali categorie contribuiscono maggiormente allo scostamento, ma vanno interpretati come diagnostica, soprattutto quando ci sono molte categorie.
4 Soluzione svolta passo per passo
4.1 Calcoliamo il numero totale di osservazioni
Sommiamo tutte le frequenze osservate:
\( 6+17+5+17+19+10+4+3+21+3+16+2=123 \)
Quindi:
\(N=123\)
4.2 Individuiamo il numero di categorie
Le categorie sono:
\(A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L\)
Quindi:
\(k=12\)
4.3 Formuliamo le ipotesi del test
L’ipotesi nulla è che le categorie abbiano tutte la stessa probabilità:
\(H_0: \; p_A= p_B= \dots= p_L= \frac{1}{12}\)
L’ipotesi alternativa è che almeno una categoria abbia probabilità diversa:
\(H_1:\) almeno una probabilità categoriale è diversa da \( \frac{1}{12}\)
4.4 Calcoliamo le frequenze attese
Sotto l’ipotesi nulla, la frequenza attesa per ciascuna categoria è:
\(E_i= \frac{N}{k}\)
Sostituendo:
\(E_i= \frac{123}{12}=10,25\)
Ogni categoria ha quindi frequenza attesa:
\(E=10.25\)
4.5 Verifichiamo la condizione di applicabilità
Nel test chi-quadrato è opportuno che le frequenze attese non siano troppo basse.
Qui:
\(E=10.25\)
Per ogni categoria.
Poiché:
\(10.25 >5\)
La condizione usuale di applicabilità del test è soddisfatta.
4.6 Calcoliamo i contributi al chi-quadrato
Per ciascuna categoria calcoliamo:
\( \frac{(0_i -E_i)^2}{E_i}\)
La frequenza attesa è sempre:
\(E=10.25\)
Categoria A
Per quanto riguarda la Categoria B
Invece per quanto riguarda la Categoria C
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