1 Testo dell’esercizio
Determinare tutti i numeri complessi \(z\) che soddisfano l’equazione
Si richiede di risolvere l’equazione lavorando nell’insieme dei numeri complessi e di scrivere le soluzioni in forma algebrica.
2 Teoria necessaria per risolvere l’esercizio
Per affrontare questo esercizio servono alcune idee fondamentali sui numeri complessi.
2.1 Forma algebrica di un numero complesso
Un numero complesso si scrive come
\(z=a+ib\)
dove:
- \(a \; \; \; \) è la parte reale;
- \(b \; \; \; \) è il coefficiente della parte immaginaria;
- \(i \; \; \; \) è l’unità immaginaria definita da:
\(i^2=-1\)
2.2 divisione per \(i\)
Poiché
\( \frac{1}{i}=-i\)
Si ha immediatamente:
\( \frac{z}{i}=-iz\)
Questo è utile per eliminare un denominatore scomodo.
2.3 Razionalizzazione di un denominatore complesso
Quando compare un denominatore come \(1+i\), conviene moltiplicare per il coniugato \(1-i\):
Di conseguenza,
2.4 Equazione di secondo grado nei complessi
Anche nei numeri complessi vale la formula risolutiva:
Per un’equazione del tipo:
\(az^2+bz+c=0\)
La differenza rispetto al caso reale è che anche il discriminante può essere complesso.
2.5 Radice quadrata di un numero complesso
Per trovare \( \sqrt{20+48i}\), si può porre:
\( \sqrt{20+48i}=x+yi\)
Con \( x \; , y \; \; \mathbb{R} ,\) imporre;
\( (x+yi)^2=20+48i\)
Sviluppando:
\(x^2-y^2+2xyi=20+48i\)
Sviluppando:
\(x^2-y^2+2xyi=20+48i\)
Del confronto tra parte reale e parte immaginaria si ottiene il sistema:
Che permette di determinare \(x\) e \(y\).
3 Consigli di problem solving ed errori comuni
In esercizi di questo tipo conviene seguire una strategia ordinata.
3.1 Strategia utile
- Elimina subito i denominatori complessi o trasformali in forme più semplici.
- Porta tutto a primo membro, così riconosci una vera equazione di secondo grado.
- Individua con precisione i coefficienti \(a\) \(b\) \(c\).
- Calcola il discriminante con calma facendo attenzione ai segni e a \(i^2=-1\).
- Se la radice del discriminante è complessa, non improvvisare: imponi \( (x+yi)^2\) uguale al numero dato.
- Verifica sempre le soluzioni finali, perché nei complessi gli errori di segno sono frequenti.
3.2 Errori comuni da evitare
- Scrivere erroneamente \( \frac{1}{i}=i\); in realtà vale, \( \frac{1}{i}=-i\)
- Dimenticare che \(i^2=-1\).
- Razionalizzare male \( \frac{1}{1+i}\)
- Sbagliare il prodotto tra numeri complessi nei calcoli del discriminante
- Pensare che la formula del secondo grado non valga nei complessi: vale anche qui.
- Trovare \( \sqrt{ \Delta} \) e dimenticare che le radici sono due opposte.
4 Soluzione svolta passo per passo
Vogliamo risolvere:
4.1 Passaggio 1: semplificare il primo termine
Poiché
\( \frac{1}{i}= -i 1 \)
Si ottiene
\( \frac{z}{i}= -iz\)
4.2 Passaggio 2: riscrivere il secondo termine
Razionalizziamo:
Quindi:
L’equazione diventa:
4.3 Passaggio 3: eliminare le frazioni
Moltiplicare tutto per 2:
Portiamo tutto al primo membro:
Abbiamo cosi un’equazione di secondo grado con
\(a = 1 – i,\; b = -2i,\; c = 3 – 9i \)
4.4 Passaggio 4: calcolare il discriminante:
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