Legge oraria moto verticale e applicazione completa al lancio di un corpo verso l’alto sono al centro di questo articolo didattico strutturato. La trattazione mostra come utilizzare correttamente le formule del moto uniformemente accelerato per calcolare altezza massima, tempo di salita, tempo totale di volo e velocità di impatto, con attenzione al sistema di riferimento e ai segni dell’accelerazione di gravità. L’articolo integra spiegazione teorica, sviluppo matematico passo per passo e interpretazione dei grafici posizione-tempo, velocità-tempo e accelerazione-tempo. Ideale per chi cerca un esercizio svolto sulla legge oraria del moto verticale con spiegazione chiara, controllo dimensionale e analisi fisica completa.
1 Il moto verticale di un sasso lanciato verso l’alto
1.1 Perché questo esercizio è importante
Questo esercizio è più istruttivo di quanto sembri. Non ti chiede solo di sostituire numeri in una formula: ti costringe a collegare un fenomeno reale con un modello matematico coerente.
Qui, infatti, compaiono insieme diversi aspetti importanti della cinematica verticale:
- l’altezza iniziale non coincide con il suolo;
- il lancio avviene verso l’alto;
- la gravita punta verso il basso;
- bisogna riconoscere il punto di altezza massima;
- bisogna distinguere tra tempo di salita e tempo totale di volo;
- bisogna interpretare il segno della velocità di impatto;
- bisogna leggere correttamente i grafici;
- bisogna capire che cosa cambia quando si usa un’origine dei tempi diversa.
In altre parole, è un esercizio ideale per imparare il vero ordine del ragionamento fisico:
osservazione -> intuizione fisica -> sistema di riferimento -> variabili -> formula -> sostituzione -> risultato -> interpretazione -> verifica grafica -> controllo degli errori
1.2 Il fenomeno prima delle formule
Prima di scrivere simboli, immaginiamo la scena.
Un sasso viene lanciato verso l’alto da una quota iniziale di 3 m. All’inizio sale, perché la velocità iniziale è diretta verso l’alto. Mentre sale, però, la gravita agisce verso il basso e ne riduce progressivamente la velocità. Arriva poi a un punto più alto, l’apice, in cui per un istante la velocità diventa nulla. Subito dopo inizia la discesa e il sasso accelera verso il basso fino a raggiungere il suolo.
L’idea chiave da trattenere fin da subito è questa: il moto non è fatto da formule separate e misteriose, ma da una storia fisica continua che noi descriviamo con equazioni.
Schema del fenomeno
In questo schema si vedono già i tre livelli fondamentali del problema:
- Il suolo che sarà la quota finale \(s=0\);
- Il punto di lancio, che si trova a 3m dal suolo;
- l’apice che verrà trovato con i calcoli ma che sappiamo già essere sopra di lancio.
1.3 Sistema di riferimento
Per risolvere correttamente il problema dobbiamo prima scegliere un sistema di riferimento. Questa scelta non cambia il fenomeno fisico, ma cambia il modo in cui scriviamo i segni nelle formule.
Scegliamo:
- Il suo come origine, quindi \(s=0\) al livello del terreno;
- Il verso positivo verso l’alto;
- la posizione verticale del sasso indicata con \(s(t)\)
Da questa scelta seguono subito i segni corretti:
- se il sasso parte verso l’alto, allora la velocità iniziale è positiva;
- se la gravita punta verso il basso, allora l’accelerazione nel sistema scelto è negativa.
Sistema di riferimento
Questo passaggio è fondamentale, perché molti errori nascono proprio qui: se non si decide chiaramente il verso positivo, poi i segni nelle equazioni vengono messi a intuito e il risultato perde significato fisico.
1.4 Dati del problema
. Raccogliamo ora i dati in modo ordinato.
| Grandezza | Simbolo | Valore | Perché ha quel segno |
| posizione iniziale | \(3m\) | perché il lancio avviene 3 m sopra il suolo | |
| velocità iniziale | \(+6m / s\) | perché il sasso parte verso l’alto | |
| accelerazione gravitazionale | \(9,81 m / s^2\) | modulo della gravita vicino alla superficie terrestre | |
| accelerazione nel sistema scelto | \( -9,81 m/s^2\) | perché la gravita punta verso il basso | |
| posizione finale al suolo | \(0 \; m\) | perché il suolo è origine del riferimento |
Da qui in avanti ogni formula dovrà rispettare esattamente questi significati
1,5 Le formule fondamentali
Le formule del moto uniformemente accelerato non vanno imparate come slogan. Ognuna risponde a una domanda fisica precisa.
Definiamo prima le variabili:
- \( t=0\) tempo misurato dal lancio;
- \(s(t)= \) posizione verticale al tempo \(t\);
- \(v(t)\) = velocità verticale al tempo \(t\) ;
- \(a = \) accelerazione costante dovuta alla gravità.
1.5.1 Che cosa descrive ogni formula?
L’accelerazione misura come cambia la velocità nel tempo. Se l’accelerazione è costante, la velocità varia linearmente:
\(v(t)= v_0 + at\)
Nel nostro problema, con \(v_0\) = \( 6 \; m \; / \; s \) e \(a\) = \( -9,81 m \; / s^2\), diventa:
\(v (t)= 6 -9,81 t\)
La posizione, invece, dipende da tre contributi distinti:
- la posizione iniziale \(s_0\);
- lo spostamento prodotto dalla velocità iniziale \(v_0 t\);
- lo spostamento prodotto dall’accelerazione \( \frac{1}{2} at^2\)
Per questo la legge oraria è:
\( s(t)=s_0+v_0t+ \frac{1}{2} at^2\)
Nel nostro caso:
\(s (t)=3 +6t-4,905t^2\)
Ogni termine ha un ruolo fisico chiaro. Il termine costante dice da dove partiamo. Quindi, lineare dice quanto ci spostiamo se conservassimo la velocità iniziale. Il termine quadratico corregge quel moto ideale tenendo conto della gravita.
1.5.2 Controllo dimensionale
Un buon modo per controllare se una formula ha senso è guardare le unità di misura.
Nel termine \(v_0t\) abbiamo:
\( (m/s) \cdot s= m\)
Nel termine \( \frac{1}{2}at^2\) abbiamo:
\( (m / s^2 ) \cdot s^2 = m\)
Quindi questi termini possono essere sommati a una posizione, perché hanno tutti dimensioni di lunghezza.
Ecco invece una formula sbagliata ma purtroppo frequente:
\( v=v_0 + \frac{1}{2} at^2\)
Perché è sbagliata? Perché \( \frac{1}{2}at^2\) ha unità di misura in metri, non in metri al secondo. Non puoi sommare una lunghezza a una velocità.
Questo controllo dimensionale è molto potente: spesso smaschera un errore ancora prima di fare i conti.
ha unità di misura in metri, non in metri al secondo. Non puoi sommare una lunghezza a una velocità.
Questo controllo dimensionale è molto potente: spesso smaschera un errore ancora prima di fare i conti.
Componenti della formula della posizione
Nel grafico si vede bene come la posizione totale \(s (t)\) sia la somma di tre contributi: una quota iniziale costante, un contributo lineare crescente e un contributo quadratico negativo che piega la curva verso il basso.
1.5.3 Albero decisionale per scegliere la formula
1.6 Prima domanda: quando il sasso raggiunge l’altezza massima?
La prima domanda fisica da fare non è “quale formula uso?”, ma: che cosa succede alla velocità nel punto più alto?
La risposta è che all’altezza massima il sasso è fermo per un istante. Questo non significa che il moto sia finito. Significa solo che, proprio in quell’istante, la velocità vale zero. Quindi la condizione fisica dell’apice è:
\(v=0\)
Ora usiamo la formula della velocità:
\(v(t)= 6 – 9,81 t\)
All’apice imponiamo \(v=0\);
Passaggi algebrici:
\( 9,81 t=6\)
\(t_{apice}= \frac{6}{9,81}= 0,6116s \approx 0,61 s\)
Quindi il sasso impiega poco più di sei decimi di secondo per perdere tutta la velocità iniziale verso l’alto.
il grafico mostra che la retta \(v(t)\) parte da \( +6 m/s\), scende in modo uniforme e attraversa lo ero proprio nel tempo dell’apice.
1.7 Seconda domanda: quanto vale l’altezza massima?
Ora la domanda fisica cambia. il tempo dell’apice lo conosciamo già. Quello che vogliamo trovare adesso è la posizione del sasso in quell’istante.
Per questo usiamo la formula della posizione:
\(s(t)= 3+6t-4,905t^2\)
Sostituiamo \( t= t_{apice}=0,6116s\) :
\(s(0,6116)=3+6 \cdot 0,6116-4,905 \cdot (0,6116)^2\)
\(s_{apice}= 4,8348m\)
\(4,8349m\) è l’altezza rispetto al suolo, non l’aumento rispetto al punto di lancio.
L’aumento effettivo durante la salita è invece:
\( \Delta S_{salita}= 4,8349 -3 = 1,8349m\)
Quindi il sasso sale di circa 1,83m sopra la quota di lancio.
altezza massima
La freccia verticale evidenzia proprio che non bisogna confondere l’altezza massima assoluta con la sola salita rispetto alla mano di partenza.
1.8 Formula alternativa senza tempo
Esiste una formula molto utile quando la condizione nota riguarda la velocità e l’incognita riguarda la posizione:
\(v^2=v_0^2 +2a(s-s_0)\)
Perché è utile?
- Collega direttamente velocità e posizione;
- Evita di calcolare prima il tempo;
- è molto comoda quando sai che in un punto la velocità assume un valore speciale, come \(v=0\) all’apice.
1.8.1 Derivazione rapida
Partiamo dalle due formule base:
\(v=v_0+ at\)
\(s=s_0+v_0t+ \frac{1}{2} at^2\)
Dalla prima ricaviamo il tempo:
\(t= \frac{v-v_0}{a}\)
Se si sostituisce questo valore nella legge oraria e si semplifica, si arriva alla relazione:
\(v^2= v_0^2 + 2a(s-s_0)\)
Il vantaggio è che il tempo scompare.
1.8.2 Applicazione all’altezza massima
All’apice vale \(v=0\) quindi:
\(0=6^2+2 (-9,81)(s_{max}-3)\)
\(0=36-19.62(s_{max}-3)\)
\(19,62(s_{max}-3)=36\)
Otteniamo lo stesso risultato di prima, come deve essere..
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