Pubblicato il

Cosa sono le funzioni e cosa è il campo di esistenza

Introduzione

Quando abbiamo a che fare con due insiemi, in una funzione, \(X\) e \(Y\) possiamo trovare delle relazioni tra gli elementi dei due insiemi.

in figura  viene mostrata la rappresentazione di due insiemi X (dominio) e Y (codominio) di una funzione matematica
In figura 1 viene mostrata la rappresentazione di due insiemi X (dominio) e Y (codominio)

Quando ci si riferisce al dominio, nello studio delle relazioni che sussistono tra due insiemi, ci si riferisce a quell’insieme di cui la scelta dell’elemento è libera.

Invece quando ci si riferisce al codominio, nello studio delle relazioni che sussistono tra due insiemi, ci si riferisce a quell’insieme di cui la scelta dell’elemento è vincolata.

viene mostrata  l'illustrazione della corrispondenza degli elementi del dominio con gli elementi del codominio (in una funzione)
In figura 2 viene mostrata l’illustrazione della corrispondenza degli elementi del dominio con gli elementi del codominio.

Attenzione a non confondere gli elementi degli insiemi con gli insiemi stessi. Tipicamente gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole, mentre gli elementi con le lettere minuscole.

\( X= {x_1,x_2,x_3 …}\)

\(Y={y_1,y_2,y_3…}\)

Gli elementi degli insiemi in matematica sono spesso numeri. Esiste una rappresentazione alternativa degli insiemi del dominio e del codomionio: gli assi del piano cartesiano.

Nel piano cartesiano vengono rappresentati dominio e codominio sottoforma di rette orientate.

 è presente il piano cartesiano e la rappresentazione di due insiemi tramite rette orientate (in una funzione)
In figura 3 è presente il piano cartesiano e la rappresentazione di due insiemi tramite rette orientate

Ogni retta orientata costituisce un insieme di numeri reali in cui gli elementi sono messi in ordine da sinistra (il più negativo) a destra (il più positivo). Le due rette orientate prendono il nome di ascisse e ordinate rispettivamente per l’insieme dei valori di \(x\) e per l’insieme dei valori di \(y\). Quindi l’asse delle ascisse è anche detto asse delle \(x\) mentre l’asse delle ordinate è anche detto asse delle \(y\).

Ogni punto del piano è una coppia di valori \((x,y)\) dette coordinate del punto; quindi il piano cartesiano è un insieme infinito di coppie di valori. Ogni curva sul piano è un insieme infinito di coppie di valori vincolati da una relazione tra \(y\) e \(x\), quindi, ogni volta che definiamo un’equazione di dipendenza tra \(x\) e \(y\), abbiamo anche definito una relazione tra gli elementi degli insiemi.

Quando deviene decisa una relazione tra \(x\) e \(y\), questa può essere una funzione se a ogni elemento di \(x\) corrisponde un solo elemento di \(y\) anche se non necessariamente deve valere il viceversa (cioè uno stesso valore di \(y\) possono corrispondere più valori di \(x\).

l'immagine mostra l'esempio di funzione lineare
In figura 4 viene mostrato l’esempio di funzione lineare.

L'immagine mostra l'esempio di una funzione parabolica
In figura 5 viene mostrato l’esempio di una funzione parabolica.

Le funzioni stanno al piano cartesiano come le frecce stanno al diagramma di Eulero-Venn. Perciò, volendo fare un parallelismo con Figura 4 si prenda in considerazione il diagramma di Eulero-Venn seguente.

Rappresentazione per alcuni elementi della relazione (di una funzione) nel diagrammd i Euleo-Venn
In figura 6 rappresentazione , per alcuni elementi della relazione in Figura 4, nel diagramma di Eulero-Venn.

Come si può evincere la rappresentazione di Figura 4 è molto più efficace e rapida rispetto a quella di Figura 6. Gli elementi dei numeri reali sono infiniti, perciò se la rappresentazione di Figura 4 risulta esaustiva ciò non è per niente vero per la rappresentazione di Figura 6.

Il dominio di una funzione è l’insieme dei valori di \(x\) per cui la funzione esiste. Nelle funzioni di cui è stato fornito esempio in Figura 4 e Figura 5 il dominio delle funzioni era tutto l’insieme dei numeri reali, perché, per tali funzioni, si può sempre trovare un valore di \(f(x)\) a partire da un valore di \(x\).

Alle volte può capitare che non è possibile trovare un valore di \(f(x)\) a partire da un valore di \(x\), come rappresentato nella figura seguente.

in figura viene mostrato l'esempio di una funzione per cui il dominio della funzione non è uguale all'insieme dei numeri reali.
In figura 7 viene mostrato l’esempio di una funzione per cui il dominio della funzione non è uguale all’insieme dei numeri reali.

In riferimento alla funzione di Figura 7, che è uguale a:

\(f(x)=\frac{1}{x}\)

Si può notare come non sia possibile trovare un valore di f\((x)\) a partire da un valore di \(x\) pari a 0. Infatti la quantità \(\frac{1}{0}\) è impossibile da trovare in quanto non esiste nessun numero che moltiplicato per 0 dia 1.

\(f(x=0)=\frac{1}{0}=impossibile\)

Infatti la funzione \(f(x)=\frac{1}{x}\) ha per \(x=0\) una così detta discontinuità di seconda specie, perché la funzione, in prossimità dei valori che si vanno ad approssimare per \(x=0\) va a valori di infinito positivi (a destra dello 0) e negativi ( a sinistra dello 0).