Quando si studia un sistema descritto da un’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, la prima distinzione da fare è tra evoluzione libera ed evoluzione forzata.
L’evoluzione libera rappresenta ciò che il sistema fa da solo, in assenza di ingresso: è il comportamento intrinseco della dinamica.
L’evoluzione forzata, invece, rappresenta la risposta dovuta a un ingresso esterno.
Questa distinzione è fondamentale perché la struttura dell’evoluzione libera dipende unicamente dalla posizione delle radici del polinomio caratteristico, cioè dai poli del sistema. Non dipende dall’ingresso e non dipende dal tipo di condizione iniziale scelta: queste intervengono solo più tardi, nel determinare quanto ciascun modo partecipa alla risposta.
Per questo motivo, quando si imposta un esercizio, si pone inizialmente l’ingresso uguale a zero. Questo non è un arbitrio, ma un modo per isolare la struttura fondamentale del sistema.
L’equazione si riduce così a un’equazione omogenea. Cercare soluzioni della forma e^ptsignifica trasformare il problema da differenziale ad algebrico, portando a costruire quello che chiamiamo polinomio caratteristico.
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Parallelogramma con tre vertici noti: come trovare il quarto punto e le rette dei lati
1 Testo Sono dati i punti A(-1, 0), B(-3, -8) e D(3, 2). Calcola le coordinate del punto C in modo che A, B, C, D formino un parallelogramma. Successivamente, determina le equazioni delle rette che contengono i lati di tale figura.
Esercizio d’esame sulla dinamica di un’asta incernierata a terra
1 Testo Il candidato modelli le equazioni della dinamica di un’asta omogenea di lunghezza 𝐿 e massa 𝑚, incernierata a una estremità. Si assuma assenza di attrito al vincolo e assenza di forze esterne diverse dal peso proprio dell’asta. Mostrare i passaggi che portano alla determinazione del momento di inerzia […]
Determinazione dell’Equazione di una Retta Passante per un Punto e il Punto Medio di un Segmento
Andiamo a vedere la determinazione dell’equazione di una retta passante per un punto e il punto medio di un segmento, passo dopo passo.
Disequazione completa con richiesta di positività (2)
Testo Si voglia risolvere la seguente Disequazione di secondo grado: \(3x^2+5x-2>0\) Soluzione Per risolvere la disequazione di secondo grado si tiene in considerazione che questa è nella forma completa e: Quindi, la sua equazione associata, ha soluzioni del tipo: E allora: \(x_1=\frac{-(5)-\sqrt{(5)^2-4(-2)(3)}}{2(3)} \rightarrow x_1=\frac{-5-\sqrt{25+24}}{6}=\frac{-5-\sqrt{49}}{6}=-2 \) Mentre: \(x_2=\frac{-(5)+\sqrt{(5)^2-4(-2)(3)}}{2(3)} \rightarrow x_2=\frac{-5+\sqrt{25+24}}{6}=\frac{-5+\sqrt{49}}{6}=\frac{1}{3}\) Quindi […]
Disequazione di un rapporto di polinomi di secondo grado esempio 2
Testo della disequazione Si vuole risolvere il seguente disequazione del rapporto di due equazioni di secondo grado: \(\frac{x^2-4x+4}{3x^2-5x+2}>0\) Soluzione Si studia separatamente numeratore \(N(x)\) e denominatore \(D(x)\): \(N(x) > 0 \rightarrow x^2-3x+4>0\) \(D(x) >0 \rightarrow 3x^2-5x+2>0\) L’equazione associata del numeratore ha soluzioni: \(x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} = \frac{+4 \pm \sqrt […]
Trova la circonferenza centrata nell’origine con la retta tangente
Testo Data una circonferenza centrata nell’origine e la retta tangente \(3x+2y-8=0\) determina l’equazione della circonferenza. Soluzione La circonferenza è evidentemente centrata nell’origine. La distanza della retta dall’origine è il raggio della circonferenza. Scrivendo la retta in forma implicita si ha: \(3x+2y-8=0\) Per conoscere il raggio della circonferenza basta calcolare la […]
Prodotto di due variabili uguali a costante – Isolamento delle Variabili e Analisi dei Valori
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