Benvenuti su Esercizi Svolti, il sito che vi accompagna nella comprensione e nella risoluzione dei problemi scolastici più comuni e difficili. Nel nostro articolo di oggi, affronteremo un argomento fondamentale: come determinare i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo partendo da un lato e un angolo noti.
Questo tipo di problema è un classico dell’ambito geometrico e richiede l’applicazione di regole specifiche per raggiungere la soluzione corretta. Attraverso spiegazioni chiare, esempi pratici e passaggi dettagliati, vi guideremo passo dopo passo nel processo di risoluzione di questi esercizi.
Che siate studenti alle prese con i primi approcci alla geometria o aspiranti matematici desiderosi di affinare le vostre abilità, questo articolo sarà un’ottima risorsa per comprendere e padroneggiare il calcolo dei lati e degli angoli in un triangolo rettangolo.
Inoltre, per eseguire dei calcoli scientifici abbiamo selezionato accuratamente delle calcolatrici che fanno a caso tuo: Quale calcolatrice scientifica utilizzo?
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Testo
Sia dato il triangolo \(ABC\) che è rettangolo in \(A\). Sono noti il valore del lato \(b\) che è pari a 15 e l’angolo \( \gamma\), che misura \(30°\). Determinare gli altri elementi del triangolo, come gli angoli mancanti e i lati rimanenti.
Soluzione
Per calcolare il valore di \( \beta\) e risolvere il problema trigonometrico proposto, è necessario fare riferimento a concetti fondamentali della geometria e delle relazioni trigonometriche. Iniziamo considerando la somma degli angoli interni di un triangolo, che è sempre uguale a \(180°\) questa proprietà, conosciuta come la somma degli angoli interni di un triangolo, ci permette di determinare il valore di \( \beta\), l’angolo richiesto nel problema.
Ricordiamo che in un triangolo rettangolo, uno degli angoli è retto, cioè misura \(90°\), nel nostro caso, abbiamo l’angolo retto e un altro angolo, \(\gamma\), dato nel problema. Quindi, per calcolare \( \beta\) , possiamo utilizzare la formula:
Per calcolare il valore di \( \beta\) si considera che la somma degli angoli interni di un qualunque triangolo è di \(180°\), quindi:
\( \beta= 180°-90°- \gamma=60°\)
Applicando questa formula, otteniamo il valore di \( \beta\) come differenza tra \(180°\), l’angolo retto, e \( \gamma\) in questo modo, siamo in grado di determinare il valore di \( \beta\) e procedere con il calcolo degli altri lati del triangolo.
Continuando con il calcolo dei lati, concentriamoci sul calcolo di a. Per farlo, ci avvaliamo della relazione trigonometrica tra il lato \(b\) e l’angolo \( \beta\) nello specifico, utilizzeremo la relazione:
\(b=a \cdot sin \beta \rightarrow\)
Risolvendo questa equazione per \(a\) otteniamo:
\( a= \frac{b}{sin \beta}\)
Sostituendo i valori noti nel problema, ovvero \(b=15\) e \( \beta=60°\), possiamo calcolare \(a\). Tuttavia, prima di procedere, dobbiamo determinare il valore del seno di \(60°\).
è noto che il seno di \(60°\) corrisponde a \( \frac{\sqrt{3}}{2}\) Quindi, possiamo sostituire questo valore nella nostra formula, ottenendo:
\(a=\frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{30}{\sqrt{3}}=\frac{30 \sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}\)
A questo punto, abbiamo calcolato il valore di \(a\), che rappresenta la lunghezza del lato del triangolo richiesto. Passando ora al calcolo del lato \(c\) utilizzeremo un altra relazione trigonometrica, in particolare quella tra il lato \(a\) e l’angolo \( \beta\). La formula da utilizzare è:
\(c=a \cdot \cos \beta = 10 \sqrt{3} \frac{1}{2}= 5 \sqrt{3}\)
Abbiamo ora determinato il valore di \(c\), che rappresenta la lunghezza del terzo lato del triangolo.
In conclusione, abbiamo risolto il problema trigonometrico calcolando il valore di \( \beta\) come differenza tra 180°, l’angolo retto e \( \gamma\). Successivamente, abbiamo calcolato il valore di \(a\) utilizzando la relazione trigonometrica tra il lato \(b\) e l’angolo \(\beta\). Infinite abbiamo ottenuto valori specifici di \(\beta\) , \(a\) e \(c\) che rappresentano la soluzione del problema.
\( \beta= 60°; \; \; \; \; a=10 \sqrt{3} \; \; ; \; \; c =5 \sqrt{3}\)
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