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Introduzione
Nell’affrontare espressioni algebriche che coinvolgono radici quadrate, una questione fondamentale da considerare è il “campo di esistenza” dell’espressione. Quest’ultimo rappresenta l’insieme di valori per i quali l’espressione è definita e reale, evitando così situazioni in cui l’espressione risulterebbe indefinita o complessa. In questo articolo, esploreremo in modo dettagliato come calcolare il campo di esistenza di un’espressione con radici quadrate. Per fare ciò, ci concentreremo sull’analisi di un esempio specifico.
Esempio di Espressione
\(E=\sqrt{2x-1}-\sqrt{x+3}\)
Passo 1: Definizione del Campo di Esistenza
Iniziamo il nostro percorso verso il calcolo, prendendo in considerazione le regole delle radici quadrate. L’argomento delle radici quadrate deve essere maggiore o uguale a zero affinché l’espressione sia reale. Quindi, dobbiamo impostare due disuguaglianze che soddisfino questa condizione per l’espressione \(E\):
\(2x-1 \geq 0\) e \(x+3 \geq 0\)
Passo 2: Risoluzione delle Disuguaglianze
Affrontiamo ora la risoluzione delle due disuguaglianze separatamente:
Disuguaglianza 1: \(2x -1 \geq 0\)
Per risolvere questa disuguaglianza, cominciamo aggiungendo 1 ad entrambi i lati dell’equazione:
\(2x \geq 1 \)
Successivamente, dividiamo entrambi i lati per 2. È importante notare che, poiché il coefficiente 2 è positivo, il segno della disuguaglianza rimane invariato:
\(x \geq \frac{1}{2}\)
Questo ci dice che \(x\) deve essere maggiore o uguale a \(\frac{1}{2}\) affinché l’argomento della prima radice sia non negativo.
Disuguaglianza 2: \(x+3 \geq 0\)
Passiamo ora alla risoluzione della seconda disuguaglianza. Sottraiamo 3 da entrambi i lati dell’equazione:
\(x \geq -3\)
La disuguaglianza ci dice che deve essere maggiore o uguale a \(-3\) affinché l’argomento della seconda radice sia non negativo.
Passo 3: Determinazione del Campo di Esistenza
Una volta risolte separatamente le due disuguaglianze, è necessario considerarle contemporaneamente. Il campo di esistenza dell’espressione \(E\) sarà quindi l’insieme di valori di \(x\) che soddisfano entrambe le disuguaglianze. Per ottenere il campo di esistenza completo, selezioniamo il valore massimo tra i due intervalli:
Conclusioni
In conclusione, abbiamo determinato il campo di esistenza dell’espressione algebrica \( E=\sqrt{2x-1}- \sqrt{x+3}\). Il campo di esistenza è costituito da tutti i numeri reali \(x\) maggiori o uguali a \(\frac{1}{2}\).
Questo risultato garantisce che le radici quadrate dell’espressione siano definite e reali. La determinazione del campo di esistenza è un passo fondamentale nell’analisi delle espressioni con radici quadrate, poiché ci permette di evitare valori di \(x\) che renderebbero l’espressione indefinita. Mantenendo una comprensione approfondita di queste operazioni matematiche, possiamo affrontare con sicurezza problemi più complessi e ottenere risultati accurati nelle nostre soluzioni matematiche.
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