di: Francesco AtzeniPubblicato il:

Limite di una funzione vettoriale: esercizio svolto con forma indeterminata

Calcolo per componenti, regola di de l’Hôpital, limite notevole e continuità

Andrea Zedda

Versione 1.0 • 13 agosto 2026

MateriaMatematicaAreaAnalisi matematica / funzioni vettoriali
LivelloUniversità baseA chi è rivoltoStudenti di Analisi 1 e calcolo multivariabile
DifficoltàIntermediaTempo di studio20–30 minuti

Le funzioni vettoriali descrivono grandezze che dipendono da un parametro e restituiscono più componenti contemporaneamente. In geometria, fisica e meccanica possono rappresentare, per esempio, una posizione nello spazio, una velocità o un insieme di variabili che evolvono insieme. Il punto essenziale è che il limite di una funzione vettoriale non richiede un nuovo tipo di calcolo: si studia il comportamento di ogni componente e poi si ricompongono i risultati nel vettore finale. La difficoltà nasce quando le componenti non hanno tutte la stessa struttura. Alcune possono essere continue e quindi valutabili per sostituzione diretta, mentre altre producono forme indeterminate e richiedono un limite notevole o la regola di de l’Hôpital. In questo esercizio useremo entrambe le idee e vedremo anche una distinzione importante: una funzione può non essere definita nel punto considerato e avere comunque un limite finito, che consente di costruire un’estensione continua.

Scopo didattico. Calcolare correttamente un limite di funzione vettoriale componente per componente, riconoscere quando usare la continuità e quando una forma indeterminata richiede un metodo specifico, e stabilire se una singolarità può essere eliminata mediante estensione continua.
Prerequisiti. Limiti di funzioni reali, continuità delle funzioni elementari, logaritmo naturale, funzione esponenziale, derivate elementari, regola della catena, forme indeterminate e nozione di vettore in R³.

1 Testo dell’esercizio

Si consideri la funzione vettoriale

r→(t)=⟨1+t,ln⁡(1+2t)t,e−t⟩\vec{r}(t)=\left\langle\sqrt{1+t},\frac{\ln(1+2t)}{t},e^{-t}\right\rangle

Calcolare il limite

limt→0⁡r→(t)\lim_{t\to0}\vec{r}(t)

Stabilire inoltre se la funzione può essere estesa per continuità nel punto \(t=0\) e, in caso affermativo, determinare il valore da assegnare alla funzione in quel punto.

2 Teoria necessaria per risolvere l’esercizio

2.1 Limite di una funzione vettoriale

Sia una funzione vettoriale a tre componenti scritta nella forma

r→(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩\vec{r}(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle

Il limite vettoriale esiste ed è finito se esistono e sono finiti i limiti delle singole componenti. In questo caso vale

limt→0⁡r→(t)=⟨limt→0⁡x(t),limt→0⁡y(t),limt→0⁡z(t)⟩\lim_{t\to0}\vec{r}(t)=\left\langle\lim_{t\to0}x(t),\lim_{t\to0}y(t),\lim_{t\to0}z(t)\right\rangle

Questa proprietà trasforma un problema vettoriale in più problemi scalari. Se anche una sola componente non ammette limite finito, il limite vettoriale finito non esiste.

Idea chiave. Il limite vettoriale esiste soltanto quando tutte le componenti ammettono limite finito. La tecnica di calcolo può essere diversa da componente a componente: non esiste alcun obbligo di usare lo stesso metodo su tutto il vettore.

2.2 Continuità e sostituzione diretta

Quando una componente è continua nel punto verso cui tende il parametro, il suo limite coincide con il valore della funzione in quel punto. Per esempio, le funzioni radice quadrata nel proprio dominio e funzione esponenziale sono continue. Se il punto appartiene al dominio, la sostituzione diretta è quindi il primo controllo da eseguire.

2.3 Forme indeterminate e regola di de l’Hôpital

Una frazione che, per sostituzione diretta, assume formalmente la forma

00\frac{0}{0}

non ha ancora un valore determinato. Se numeratore e denominatore soddisfano le ipotesi della regola di de l’Hôpital in un intorno del punto, il limite può essere calcolato derivando separatamente numeratore e denominatore:

limt→0⁡f(t)g(t)=limt→0⁡f′(t)g′(t)\lim_{t\to0}\frac{f(t)}{g(t)}=\lim_{t\to0}\frac{f'(t)}{g'(t)}

quando il limite a destra esiste nelle condizioni previste dal teorema.

Nel nostro esercizio sarà importante ricordare la derivata della funzione composta

ddtln⁡(1+2t)=21+2t\frac{d}{dt}\ln(1+2t)=\frac{2}{1+2t}

Il fattore \(2\) deriva dalla regola della catena e non deve essere perso.

2.4 Limite notevole del logaritmo

Lo stesso passaggio può essere controllato anche usando il limite notevole

limu→0⁡ln⁡(1+u)u=1\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1

Disporre di un secondo metodo indipendente è utile perché permette di verificare il risultato ottenuto con de l’Hôpital.

2.5 Limite e valore della funzione non sono la stessa cosa Perché esista un limite in \(t=0\)non è necessario che la funzione sia già definita in \(t=0\) Se il limite esiste ed è finito, e l’unico problema è un punto mancante, si può spesso eliminare la discontinuità definendo la funzione nel punto con il valore del limite.

3 Consigli di problem solving ed errori comuni

3.1 Leggere il dominio prima di calcolare La prima componente richiede

La prima componente richiede

1+t≥01+t \geq 0

Mentre il logaritmo richiede

1+2t>01+2t >0

La seconda componente contiene inoltre il denominatore \(t\) quindi la funzione originale non è definita in \(t=0\). In intorno sufficientemente piccolo di zero, però, esistono punti del dominio sia a sinistra sia a destra: il limite bilatero può quindi essere studiato.

3.2 Strategia risolutiva

Procedere in questo ordine:

  1. separare il limite nelle tre componenti;
  2. provare la sostituzione diretta in ciascuna componente;
  3. usare de l’Hôpital soltanto sulla componente che produce la forma indeterminata \( 0/0\) ;
  4. ricomporre i tre limiti scalari nel vettore finale;
  5. verificare il risultato con un metodo alternativo o con valori numerici vicini a zero;
  6. confrontare l’esistenza del limite con il dominio della funzione per decidere se è possibile un’estensione continua.
Attenzione. La regola di de l’Hôpital non si applica “al vettore”. Si applica esclusivamente alla componente scalare che presenta una forma indeterminata ammessa e soltanto dopo aver verificato le condizioni del teorema.

3.3 Errori frequenti

Errore 1 — Applicare de l’Hôpital all’intero vettore. La regola di de l’Hôpital è una regola per quozienti di funzioni scalari. Va applicata, quando necessario, alla singola componente che presenta la forma indeterminata.

Errore 2 — Usare de l’Hôpital anche dove basta la continuità. Derivare componenti già continue non aggiunge informazione e aumenta il rischio di errori. La sostituzione diretta deve essere il primo test.

Errore 3 — Dimenticare la regola della catena. La derivata di \(ln \; (1+2t)\) contiene il fattore \(2\)

Errore 4 — Concludere che il limite non esiste perché la funzione non è definita nel punto. Il valore nel punto e il limite sono concetti distinti. Una singolarità removibile può essere colmata assegnando il valore limite.

Errore 5 — Ignorare il dominio del logaritmo. Prima di discutere un limite bilatero bisogna verificare che il dominio contenga punti sufficientemente vicini al punto da entrambi i lati.

4 Soluzione svolta passo per passo

4.1 Separiamo il limite nelle componenti

Per la proprietà dei limiti delle funzioni vettoriali possiamo scrivere

limt→0⁡r→(t)=⟨limt→0⁡1+t,limt→0⁡ln⁡(1+2t)t,limt→0⁡e−t⟩\lim_{t\to0}\vec{r}(t)=\left\langle\lim_{t\to0}\sqrt{1+t},\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+2t)}{t},\lim_{t\to0}e^{-t}\right\rangle

Il problema è quindi ridotto a tre limiti scalari.

4.2 Prima componente

La funzione radice quadrata è continua in un intorno di zero compatibile con il proprio dominio. Possiamo quindi sostituire direttamente:

limt→0⁡1+t=1=1\lim_{t\to0}\sqrt{1+t}=\sqrt{1}=1

La prima componente del vettore limite vale quindi 1.

4.3 Seconda componente: riconoscimento della forma indeterminata

Consideriamo

limt→0⁡ln⁡(1+2t)t\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+2t)}{t}

Sostituendo formalmente \(t=0\) numeratore e denominatore tendono entrambi a zero:

ln⁡(1)0=00\frac{\ln(1)}{0}=\frac{0}{0}

Siamo quindi in presenza di una forma indeterminata. Le funzioni coinvolte sono derivabili in un intorno di zero contenuto nel dominio e la derivata del denominatore è diversa da zero. Possiamo applicare de l’Hôpital:

limt→0⁡ln⁡(1+2t)t=limt→0⁡21+2t1\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+2t)}{t} = \lim_{t\to0}\frac{\frac{2}{1+2t}}{1}

A questo punto la nuova espressione è continua in zero, quindi

limt→0⁡21+2t=2\lim_{t\to0}\frac{2}{1+2t}=2

La seconda componente del vettore limite vale 2.

Controllo. La derivata di ln(1+2t) è 2/(1+2t). Se compare soltanto 1/(1+2t), è stato dimenticato il fattore 2 della regola della catena e il risultato della seconda componente sarà errato.

4.4 Terza componente

La funzione esponenziale è continua. Possiamo quindi effettuare la sostituzione diretta:

limt→0⁡e−t=e0=1\lim_{t\to0}e^{-t}=e^0=1

La terza componente del vettore limitante vale 1.

4.5 Ricomponiamo il vettore limite

i tre limiti scalari sono rispettivamente 1,2 e 1. Pertanto

limt→0⁡r→(t)=⟨1,2,1⟩\lim_{t\to0}\vec{r}(t)=\langle1,2,1\rangle

4.6 Estensione continua nel punto mancante

La funzione originale non è definita in \(t=0\) perché la seconda componente contiene una divisione per zero. Il limite vettoriale, tuttavia, esiste ed è finito. Possiamo quindi definire una nuova funzione estesa assegnando nel punto mancante il valore

r→(0)=⟨1,2,1⟩\vec{r}(0)=\langle1,2,1\rangle

Con questa definizione la singolarità della seconda componente diventa removibile e la funzione estesa è continua in \(t=0\).

5 Verifica del risultato

5.1 Controllo con il limite notevole

Introduciamo la variabile

u=2tu=2t

Quando \(t\) tende a zero, anche \(u\) tende a zero. La componente logaritmica può essere riscritta come:

ln⁡(1+2t)t=2ln⁡(1+u)u\frac{\ln(1+2t)}{t}=2\frac{\ln(1+u)}{u}

Applicando il limite notevole otteniamo

limu→0⁡2ln⁡(1+u)u=2\lim_{u\to0}2\frac{\ln(1+u)}{u}=2

Il risultato coincide con quello ottenuto mediante de l’Hôpital.

5.2 Controllo numerico vicino a zero

La seguente tabella mostra valori della funzione per parametri molto vicini a zero. Le tre componenti si avvicinano rispettivamente a ,  e .

tPrima componenteSeconda componenteTerza componente
-0,0100,994992,020271,01005
0,0101,004991,980260,99005

Il controllo numerico non sostituisce la dimostrazione analitica, ma è coerente con il limite trovato.

6 Interpretazione

Il vettore limite

⟨1,2,1⟩\langle1,2,1\rangle

rappresenta il punto verso cui convergono contemporaneamente le tre coordinate della funzione quando il parametro si avvicina a zero. Non è necessario che la funzione originale assuma quel valore nel punto: in questo caso non può farlo perché una componente non è definita.

Il limite mostra però che il comportamento vicino al punto è regolare e identifica un valore naturale con cui colmare il “buco”. Dal punto di vista geometrico, la traiettoria parametrica descritta da \( \vec{r}(t)\) si avvicina al punto \((1,2,1)\)da entrambi i lati compatibili con il dominio.

Dal punto di vista analitico, la discontinuità è removibile: la modifica del valore in un solo punto consente di ottenere una funzione continua senza cambiare il comportamento della funzione per\( t \cancel{=}0\)

7 Metodo alternativo

La regola di de l’Hôpital non è l’unico modo per calcolare la seconda componente. Usando direttamente il limite notevole del logaritmo, poniamo

u=2tu=2t

Allora

ln⁡(1+2t)t=2ln⁡(1+u)u\frac{\ln(1+2t)}{t}=2\frac{\ln(1+u)}{u}

Poiché

limu→0⁡ln⁡(1+u)u=1\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1

Segue immediatamente

limt→0⁡ln⁡(1+2t)t=2\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+2t)}{t}=2

Questo metodo è più rapido quando il limite notevole è già noto. De l’Hôpital è invece utile quando la struttura non è immediatamente riconducibile a un limite standard. I due procedimenti, applicati correttamente, devono produrre lo stesso risultato.

8 Metodo generale da ricordare

Per continuare a leggere l’articolo clicca qui sotto:

Limite di una funzione vettoriale: esercizio svolto con forma indeterminata

Oltre a questo articolo ti consigliamo..

Di visitare il nostro negozio, dove puoi acquistare altri file in formato word per integrare i tuoi appunti. \( \rightarrow \) CLICCA QUI

Immagine rappresentativa del file word acquistabile nel negozio!

Limite di una funzione vettoriale: esercizio svolto con forma indeterminata

Translate »

Scopri di più da La soluzione per gli studenti

Abbonati ora per continuare a leggere e avere accesso all'archivio completo.

Continua a leggere