di: Francesco AtzeniPubblicato il:

Equazioni differenziali lineari del primo ordine: il metodo del fattore integrante

Le equazioni differenziali lineari del primo ordine richiedono più di una semplice integrazione: bisogna riconoscere la struttura dell’equazione, costruire un fattore integrante coerente e controllare che la funzione ottenuta soddisfi sia la relazione differenziale sia l’eventuale condizione iniziale. La difficoltà tipica consiste nel ricordare una formula senza comprendere perché funzioni, con il rischio di sbagliare il segno dell’esponente, perdere la costante di integrazione o applicare la condizione iniziale troppo presto. In questo articolo risolviamo un problema di Cauchy con coefficiente variabile, mostrando il passaggio che trasforma il membro sinistro nella derivata di un prodotto. La soluzione viene poi verificata per sostituzione, interpretata come elemento di una famiglia di curve e ricavata anche con un metodo alternativo basato sulla somma tra soluzione omogenea e soluzione particolare. Una sezione applicativa mostra infine come la stessa struttura differenziale venga utilizzata in farmacocinetica, distinguendo con precisione il modello ideale dai dati clinici realmente misurati.

Problema di Cauchy con coefficiente variabile, verifica diretta, metodo alternativo e applicazione farmacocinetica basata su dati reali

MateriaMatematicaAreaAnalisi matematica — equazioni differenziali 
LivelloQuinto liceo scientifico / università baseA chi è rivoltoStudenti che affrontano le equazioni differenziali del primo ordine 
DifficoltàIntermediaTempo di studio50–65 minuti 
Scopo didattico Al termine dello studio saprai riconoscere un’equazione lineare del primo ordine, costruire il fattore integrante, ricavare la soluzione generale, applicare una condizione iniziale, verificare il risultato e riconoscere la stessa struttura in un modello farmacocinetico sostenuto da misure reali.
Prerequisiti Sono richieste la derivazione del prodotto, la derivata della funzione esponenziale, il calcolo di integrali elementari e il significato di condizione iniziale.

1           Testo dell’esercizio

Considera il seguente problema di Cauchy, definito per ogni numero reale \(x\) :

y′(x)+3x y(x)=x(3x2+2),y'(x)+3x y(x)=x(3x^2+2),

Con la condizione iniziale

y(0)=1.y(0)=1.

Svolgi le seguenti richieste:

  1. determina la soluzione generale dell’equazione differenziale;
  2. individua la soluzione che soddisfa la condizione iniziale;
  3. verifica il risultato sostituendolo nell’equazione di partenza;
  4. interpreta il ruolo della costante presente nella soluzione generale.

2   Teoria necessaria per risolvere l’esercizio

2.1          La forma lineare del primo ordine

Un’equazione differenziale lineare del primo ordine si presenta nella forma

y′(x)+a(x)y(x)=b(x),y'(x)+a(x)y(x)=b(x),

Dove la funzione incognita e la sua derivata compaiono soltanto al primo grado. La linearità riguarda la dipendenza da \(y\) e da \(y’\) non la forma delle funzioni \(a (x)\) e \(b(x)\) che possono dipendere da \(x\) in modo non costante.

Nel problema proposto, il coefficiente della funzione incognita e il termine noto sono

a(x)=3x,a(x)=3x,
a(x)=3x,b(x)=x(3x2+2).a(x)=3x, b(x)=x(3x^2+2).

2.2 Perché si introduce il fattore integrante

Cerchiamo una funzione non nulla \( \mu (x)\) che permetta di trasformare il membro sinistro nella derivata di un prodotto. La derivata del prodotto tra \( \mu (x)\) e \(y(x)\) è:

ddx[μ(x)y(x)]=μ(x)y′(x)+μ′(x)y(x).\frac{d}{dx}\; [μ(x)y(x)]=μ(x)y'(x)+μ'(x)y(x).

Affinché questo risultato coincida con l’equazione moltiplicata per \( \mu (x)\) occorre imporre:

μ′(x)=a(x)μ(x)μ'(x)=a(x)μ(x)

Una scelta standard è quindi

μ(x)=eA(x),  A(x)=∫a(x) dx.μ(x)=e^A(x) ,  A(x)=∫a(x) dx.

Moltiplicando l’equazione per il fattore integrante si ottiene

ddx[eA(x)y(x)]=eA(x)b(x).\frac{d}{dx} [e^{A(x)} y(x)]=e^{A(x)} b(x).

Dopo l’integrazione, la soluzione generale assume la forma

y(x)=e−A(x)[C+∫eA(x)b(x) dx]y(x)=e^{-A(x)} [C+∫e^A(x) b(x) dx]

La costante \(C\) rappresenta la libertà residua della famiglia di soluzioni. Una condizione iniziale seleziona un solo valore di questa costante.

2.3 Esistenza e unicità nel problema di Cauchy

Le funzioni \(a(x)\) e \(b(x)\) del nostro esercizio sono continue su tutto l’asse reale. Il problema di Cauchy ammette quindi una sola soluzione definita per ogni \(x\) reale. Questa informazione non sostituisce il calcolo, ma garantisce che due procedure corrette devono condurre alla stessa funzione.

3 Consigli di problem solving ed errori comuni

3.1 Lettura della traccia

L’equazione è già scritta nella forma lineare standard. Non occorre separare le variabili: il coefficiente \( 3x\) moltiplica la funzione incognita, mentre il termine noto dipendente esclusivamente dalla variabile indipendente. L’obiettivo iniziale è costruire il fattore integrante; soltanto dopo si applica la condizione iniziale.

3.2 Strategia risolutiva

  1. Identificare le funzioni \(a(x)\) e \(b(x)\);
  2. Calcolare una primitiva di \(a(x)\);
  3. Costruire il fattore integrante;
  4. Moltiplicare l’intera equazione per tale fattore;
  5. Riconoscere la derivata del prodotto nel membro sinistro;
  6. Integrare il membro destro e ricavare la soluzione generale;
  7. Applicare la condizione iniziale;
  8. Verificare equazione e dato iniziale.
Idea chiave Dopo la moltiplicazione per il fattore integrante, non conviene integrare alla cieca. Il termine destro è stato scelto in modo che possa essere riconosciuto come la derivata di un prodotto: questa osservazione riduce il calcolo e rende più facile controllare i segni.
Attenzione La condizione iniziale non determina direttamente la funzione. Prima bisogna trovare la famiglia generale delle soluzioni; solo dopo si sostituiscono il punto e il valore assegnati per calcolare la costante.
Errore osservatoPerché produce un risultato erratoCorrezione operativaControllo rapido
Usare un esponente con segno opposto nel fattore integranteIl membro sinistro non diventa la derivata del prodotto desideratoDerivare il fattore scelto e verificare che la sua derivata sia il prodotto tra coefficiente e fattoreControllare esplicitamente la derivata del prodotto
Moltiplicare solo alcuni termini dell’equazioneSi modifica l’equazione e si perde l’equivalenzaMoltiplicare entrambi i membri e ogni termine per lo stesso fattoreRiscrivere l’equazione completa su una nuova riga
Dimenticare la costante di integrazioneSi ottiene una sola soluzione invece della famiglia generaleInserire la costante subito dopo l’integrazioneVerificare che la soluzione generale contenga un parametro libero
Applicare la condizione iniziale prima di isolare la funzioneSi mescolano due fasi diverse e aumentano gli errori algebriciRicavare prima la formula generale della funzioneTenere separati i blocchi “soluzione generale” e “dato iniziale”
Verificare soltanto il valore finaleUna funzione può soddisfare il dato iniziale ma non l’equazioneControllare sia la derivata sia la condizione assegnataEseguire due verifiche distinte

4          Soluzione svolta passo per passo

4.1        Passo 1 — Identificare il coefficiente e calcolarne una primitiva

Il coefficiente della funzione incognita è \(3x\). Calcoliamo quindi.

A(x)=∫3x dx=32x2A(x)=∫3x dx= \frac{3}{2} x^2

Una costante additiva nella primitiva non è necessaria: produrrebbe soltanto un fattore moltiplicativo costante, che non cambia il metodo.

4.2          Passo 2 — Costruire il fattore integrante

Il fattore integrante è

μ(x)=eA(x)=e32x2μ(x)=e^A(x) =e^{ \frac{3}{2} x^2}

La sua derivata è:

μ′(x)=3x e32x2=3x μ(x),μ'(x)=3x e^{ \frac{3}{2} x^2} =3x μ(x),

quindi la condizione richiesta è soddisfatta.

4.3 Passo 3 Moltiplicare l’equazione

Moltiplichiamo ogni termine per il fattore integrante:

e32x2y′(x)+3xe32x2y(x)=x(3x2+2)e32x2e^{\frac{3}{2}x^2}y'(x)+3xe^{\frac{3}{2}x^2}y(x)=x(3x^2+2)e^{\frac{3}{2}x^2}

Il membro sinistro coincide con la derivata del prodotto:

ddx[x2e32x2]=2xe32x2+x2(3x)e32x2\frac{d}{dx}\left[x^2e^{\frac{3}{2}x^2}\right] =2xe^{\frac{3}{2}x^2}+x^2(3x)e^{\frac{3}{2}x^2}

4.4 Passo 4 Riconoscere la derivata nel membro destro

Calcoliamo la derivata del prodotto tra \(x^2\) e l’esponenziale:

ddx[x2e32x2]=2xe32x2+x2(3x)e32x2.\frac{d}{dx}\left[x^2e^{\frac{3}{2}x^2}\right] = 2xe^{\frac{3}{2}x^2} + x^2(3x)e^{\frac{3}{2}x^2}.

Raccogliendo i fattori comuni otteniamo

ddx[x2e32x2]=x(3x2+2)e32x2.\frac{d}{dx}\left[x^2e^{\frac{3}{2}x^2}\right]=x(3x^2+2)e^{\frac{3}{2}x^2}.

Il membro destro dell’equazione trasformata è dunque esattamente questa derivata.

4.5 Passo 5 Integrare e ricavare la soluzione generale

Integrando entrambi i membri si ha:

e3/2x2y(x)=x2e3/2x2+C.e^{3/2 x^2} y(x)=x^2 e^{3/2 x^2}+C.

Dividiamo per il fattore integrante, che è sempre positivo:

y(x)=x2+Ce−32x2y(x)=x^2+ C e^{- \frac{3}{2}x^2}

La condizione iniziale impone

\(C=1\)

y(x)=x2+e−32x2y(x)=x^2+e^{- \frac{3}{2} x^2}

La funzione ottenuta è la soluzione unica del problema di Cauchy.

5         Verifica del risultato

5.1        Controllo dell’equazione differenziale

Deriviamo la soluzione:

y′(x)=2x−3x e−32x2y'(x)=2x-3x e^{- \frac{3}{2}x^2}

Sommando i due contributi, i termini esponenziali si eliminano:

y′(x)+3x y(x)=2x+3x3=x(3x2+2).y'(x)+3x y(x)=2x+3x^3=x(3x^2+2).

Il membro destro coincide con quello dell’equazione assegnata.

5.2 Controllo della condizione iniziale

Sostituendo \(x=0\) si ottiene

y(0)=0+1=1.y(0)=0+1=1.
Controllo La funzione supera entrambi i controlli indipendenti: soddisfa l’equazione differenziale per ogni valore reale della variabile e assume il valore richiesto nel punto iniziale.

6          Interpretazione

La soluzione generale contiene il termine \(Ce^{-3x^2/2}\). Nel punto \(x=0\) l’esponenziale vale uno, perciò il parametro \(C\) coincide direttamente con il valore iniziale della soluzione. In questo esercizio la condizione \(y(0)=1\) seleziona quindi la curva con \(C=1\)

Quando il modulo di \(x\) aumenta, il termine esponenziale tende rapidamente a zero. Tutte le soluzioni della famiglia si avvicinano pertanto alla parabola\(y=x^2\) pur restando diverse nelle vicinanze dell’origine. La figura seguente mostra questo comportamento e rende visibile il ruolo della condizione iniziale.

equazioni differenziali
Figura 1 — Famiglia di soluzioni dell’equazione differenziale. La condizione iniziale seleziona la curva con parametro C uguale a 1; per valori elevati del modulo di x, tutte le curve si avvicinano alla parabola y uguale x al quadrato.

7           Esempio applicativo reale

Il fattore integrante non è soltanto una tecnica costruita per gli esercizi scolastici. La stessa struttura matematica compare nei modelli farmacocinetici che descrivono come la concentrazione di un farmaco cambia nel tempo. Nella pratica, le soluzioni sono implementate in protocolli e software: il calcolo manuale serve a comprendere da dove provengono le formule e quali ipotesi contengono.

7.1 Un modello usato nella farmacocinetica

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Equazioni differenziali lineari del primo ordine: il metodo del fattore integrante

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